第230問の解答
1.問題 [平面図形]
左図のような、AB=AD、∠BAD=∠BCD=90度の四角形ABCDがあります。
DC=1.7cm、四角形ABCDの面積が25cm2であるとするとき、BCの長さは何cmでしょうか?。
2.解答例1(C-Dさん、トトロ@Nさん、高橋道広さん、糸瀬善人さん、中学への算数学コンさん、他多数)
四角形ABCDと同じ図形を4個、下図のように合わせます。
四角形の内角の和は360度ですから、
α+β+90+90=360度
よって、α+β=180度。従って、C'、D、Cは一直線上に並びます。
他辺も同様ですから、CC'C''C'''は正方形になります。この正方形の面積は、25×4=100cm2ですから、1辺の長さは10cm。
従って、BC=C'D=10−1.7=8.3cmとなります。
答:8.3cm
以上
3.解答例2(たこやき大学さん、ταροさん、澪桜葵美翔さん、ふぇるまーさん、ハラギャーテイさん、有無相生さん、M.Hossieさん、他多数)
AからBCに下ろした垂線の足をHとします。
△ABHを切り取って、ABとADが重なるように合わせます。α+β=180度より、C、D、H'は1直線上にならびます。
また、γ+δ=90度より、四角形AHCH'の4つの角は全て直角となるので、AHCH'は正方形です。
この面積が25cm2ですから、1辺の長さは5cm。
BH=DH'=5−1.7=3.3cm、HC=5cm。よって、BC=BH+HC=3.3+5=8.3cmとなります。
4.解答例3(ヒデー王子さん、みずなぎさん、みもむさん、ありっちさん、うっしーさん、他多数)
BC=xcm、BD=ycm、CD=a=1.7cmとします。
ピタゴラスの定理より、y2=x2+a2。
また、四角形ABCDの面積は、
1/4y2+1/2ax=1/4(x2+a2)+1/2ax=1/4(x+a)2=25cm2。よって、x+a=10、x=10−a=10−1.7=8.3cmとなります。