第235問の解答


1.問題 平面図形

問題図
左図は、次のようにして作図されています。

1.ある円の周上に長さ6cm弦ABをとる。
2.角CAB160度CA=ABとなるような点Cをとる。
3.点Bから、ACに平行な直線をひき、もとの円との交点をとする。
4.を結ぶ。

すると、角ACD=40度となったそうです。

このとき、図の水色の部分面積を求めてください。なお、円周率は3.14として計算してください。

2.解答例1ありっちさん、萬田銀次郎さん、中村明海さん、ταροさん、たこやき大学さん、うっしーさん、トトロ@Nさん、C-Dさん、あやのりんさん、圭太さん、げんたさん、M.Hossieさん、あんみつさん、noetherさん、他多数)


円の中心をとします。
中心Oは、辺AB垂直2等分線辺BD垂直2等分線の交点として求まります。
図を正確に描くと、C、D、O一直線上に並んでいるようです。
これが成り立つものとして考えてみましょう。
  (解答例2以下で、証明方法を紹介します)

参考図1

辺ABの垂線2等分線OH1と辺BDの交点をとし、辺BAの延長線と辺DCの延長線の交点をとします。

∠CAF=180−∠CAB=180−160=20度
∠CFA∠ACD∠CAF=40−20=20度
よって、△CFA2等辺三角形

ACBDは平行より、∠EBA∠CAF20度
EHABの垂直2等分線だから、∠EAB∠EBA20度
よって、AECD平行となり、四角形DCAE平行四辺形となります。

C、D、Oは一直線上にある(と仮定した)ので、ODAE平行
従って、△DAE△OAE底辺AEおよび高さが共通となるので、
 △DAE=△OAE

また、四角形DCAEは平行四辺形だから、△DCA=△DAE
EHABの垂直2等分線だから、△OBE=△OAE

以上から、平行四辺形DCAEの面積=△OAE△OBE
よって、求める図形の面積扇形OABの面積
従って、あとは円O半径と、扇形OAB中心角AOBが分かれば面積が求まります。

参考図2

ACBDが平行より、∠ODB=∠DCA=40度
OD=OA=OB=円Oの半径
従って、△ODBは2等辺三角形だから、∠OBD=∠ODB=40度
∠OBA∠OBD∠ABD=40+20=60度

△OABは2等辺三角形だから、∠OAB=∠OBA=60度
よって、△OAB正三角形となり、∠AOB=60度OB=AB=6cmと分かります。

 求める図形の面積
扇形OABの面積
円Oの面積×∠AOB360
π×62×60/360
6π
6×3.14
18.84cm2

 答:18.84cm2

 

以上


3.解答例2noetherさんあんみつさん、他)

辺CDの延長上に、AC=APとなる点をとります。

参考図3

△ACPは2等辺三角形となるので、∠APC=∠ACP=40度
∠CAP=180−40×2=100度

よって、∠PAB=∠CAB−100=160−100=60度となるので、
2等辺三角形△PAB正三角形となります。
従って、PB=PA。 ・・・(1)

また、∠PBA=60度
∠PBD=∠PBA−∠DBA=60−20=40度

∠PDB=∠PBD=40度より、△PDB2等辺三角形。
よって、PD=PB。・・・(2)

(1)、(2)より、PD=PA=PB=6cmとなるので、点P円の中心となります。

以下、解答例2と同様。


4.解答例3M.Hossieさん、他)

ABの垂直2等分線上にAP=BP=AB=6cmとなる点をとります。

参考図4

△PAB正三角形となるので、∠PAB=∠PBA=∠APB=60度

∠CAP=∠CAB−∠PAB=160−60=100度

AC=AP=6cmより、△ACP2等辺三角形
よって∠PCA=90−∠CAP×1/2=90−100×1/2=40度

∠PCA=∠DCA=40度より、C、D、P一直線上にあります。

よって、ACBDが平行より、∠PDB=∠PCA=40度

ところで、∠PBD=∠PBA−∠DBA=60−20=40度
よって、△PDB2等辺三角形PD=PB=6cm

以上から、PD=PA=PB=6cmとなり、点P円の中心となります。

以下、省略。


(参考)C、D、Oが一直線上にあるときの条件は?

この問題では、C、D、Oが一直線上にあることがポイントになっています。
そこで、下図のように一般化して、角度αがどうなるかを考えてみましょう。
すなわち、ACBDが平行、∠ACD=2α、∠CAB=180−αとします。(本文では、α=20度

参考図5

AB中点OHBDの交点、BAの延長とDCの延長の交点とします。
解答例1と同様に、ACBD平行より、∠EBA=∠CAF=α
△EAB2等辺三角形より、∠EAB=∠EBA=α
∠CFA=∠DCA−∠CAF=2α−α=α
よってAECD平行となることが分かります。

また、ACBD平行より、∠ODB=∠OCA=2α

は円の中心だから、OD=OA=OB
よって、△ODB2等辺三角形
従って、∠OBD=∠ODB=2α

また、∠DOA(弧ADの中心角)=∠DBA(弧ADの円周角)×2=2α
∠ACO=∠AOC=2αより、△ACO2等辺三角形
よって、AO=AC=6cm

従って、OA=OB=6cm=ABとなり、△OAB正三角形

よって、∠OBA=∠OBD+∠EBA=3α=60度
従って、α=20度となります。

以上から、C、D、Oが一直線上にあるときは、α=20度のときに限り、
このとき、△OAB正三角形になります。