第２３７問の解答
１．問題 ［速さの問題］
| ２４ｋｍ離れたＡ町、Ｂ町にそれぞれマサルさん、トモエさんがいます。 いま、２人はクルマで同時に出発し、マサルさんはＢ町に、トモエさんはＡ町に向かいました。 マサルさんは初め毎時９０ｋｍで走りましたが、途中のＣ町からは毎時６０ｋｍで走りました。 トモエさんは初め毎時４０ｋｍでしたが、途中のＤ町から毎時１２０ｋｍで走りました。 このとき、２人のクルマはＣ町とＤ町のちょうど真ん中の地点で出会い、同時に目的地に到着したそうです。 （１） Ａ町〜Ｃ町間の距離は何ｋｍだったでしょうか。 （２） Ｂ町〜Ｄ町間の距離は何ｋｍだったでしょうか。 |
２．解答例１（gappoさん、Takeさん、田村稔さん、mhayashiさん、ありっちさん、ταροさん、高橋道広さん、圭太さん、bpさん、M.Hossieさん、他多数）
ＡＣ、ＣＤ、ＤＢ間の距離をａ、ｂ、ｃkm/s、とします。
出会うまでの時間は、
マサルさん ・・・ a/90 + b/2/60
トモエさん ・・・ c/40 + b/2/120
よって、
a/90 + b/2/60 = c/40 + b/2/120 ・・・（１）ＡＢ間の全所要時間は、
マサルさん ・・・ a/90 + (b+c)/60
トモエさん ・・・ c/40 + (a+b)/120
よって、
a/90 + (b+c)/60 = c/40 + (a+b)/120 ・・・（２）また、ＡＢ間の距離は、
a+b+c = 24 ・・・（３）（１）、（２）、（３）より、
a = 15、b = 2、c = 7
を得る。よって、ＡＣ間は１５ｋｍ、ＤＢ間は７ｋｍと分かります。
なお、上記は、Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂの順になっていると考えましたが、
Ａ、Ｄ、Ｃ、Ｂの順になっている場合は不適であることが次のようにして分かります。
上記同様に、
(a-b/2)/90 = (c-b/2)/40 ・・・（１）'
a/90 + (c-b)/60 = c/40 + (a-b)/120 ・・・（２）'
a-b+c = 24 ・・・（３）
より、
a = 207/13, b = -18/13, c = 87/13
を得る。 これは、不適。
答： （１）１５ｋｍ （２）７ｋｍ
以上
３．解答例２（ヒデー王子さん、げんさん、M.Hossieさん、H.Takaiさん、他）
２人が出会った地点をＥとします。
Ａ、Ｃ、Ｅ、Ｄ、Ｂの順になっているとします。
Ｅ地点からマサルさんが６０ｋｍ/ｓでＢ地点まで行ったのとちょうど同じ時間でトモエさんはＥ地点からＡ地点まで１２０ｋｍ/ｓで進んだのだから、
ＡＥ：ＥＢ＝１２０：６０＝２：１
よって、ＡＥ＝２４×2/3＝１６ｋｍ、ＥＢ＝２４×1/3＝８ｋｍ
となります。ダイアグラムの中央部分を拡大します。
マサルさんがＡからＥまで９０ｋｍ/ｈでそのまま進んだときの所要時間は、
１６／９０時間＝１６／９０×６０分＝３２／３分、
トモエさんがＢからＥまで４０ｋｍ/ｈでそのまま進んだときの所要時間は、
８／４０時間＝８／４０×６０分＝１２分、
従って、その差は１２−３２／３＝４/３分となります。マサルさんは、実際にはＣＥを６０ｋｍ/ｈで進んだので、所用時間の比は、６０：９０＝２：３、よって、E1E3：E3E=２：１ ・・・（１）
トモエさんは、実際にはＤＥを１２０ｋｍ/ｈで進んだので、所用時間の比は、１２０：４０＝３：１、よって、E2E：EE4=１：２ ・・・（２）
となります。ＣＥ＝ＥＤであり、この同じ距離をマサルさんは６０ｋｍ/ｈ、トモエさんは１２０ｋｍ/ｈで進んだのだから、E1E：E2E=２：１ ・・・（３）
となります。E2Eの時間を１とすると、E3E＝E1E×1/3＝２×1/3＝２/３。
従って、E3E4＝２/３＋２＝８/３。
この実際の時間は、４/３分だから、
E2Eの実際の時間は、（４/３分）／（８/３）＝１/２分となります。よって、トモエさんはＤＥを１２０ｋｍ/ｈで１/２分進んだのだから、
ＤＥ＝６０分/時間×１/２分×１２０ｋｍ/ｈ＝１ｋｍと分かります。よって、ＡＣ＝ＡＥ−ＣＥ＝１６−１＝１５ｋｍ、
ＤＢ＝ＥＢ−ＥＤ＝８−１＝７ｋｍとなります。
なお、Ａ、Ｄ、Ｅ、Ｃ、Ｂの順になっているとした場合は、
ＡＥ：ＥＢ＝９０：４０＝９：４なので、
ＡＥ＝２４×９/１３、ＥＢ＝２４×４/１３ｋｍとなります。ＥＡをトモエさんが１２０ｋｍ/ｓで進んだとしたら、
所要時間ｔ1＝２４×９/１３ｋｍ／１２０ｋｍ/ｈ×６０分/h＝１０８/１３分。ＥＢをマサルさんが６０ｋｍ/ｓで進んだとしたら、
所要時間ｔ2＝２４×４/１３ｋｍ／６０ｋｍ/ｈ×６０分/h＝９６/１３分。ダイアグラムから、ｔ1＜ｔ＜ｔ2でなければならないが、
ｔ1＝１０８/１３分＞ｔ2＝９６/１３分
なので、不適。
