第240問の解答
1.問題 [整数の性質]
各位の数を足し算すると13の倍数になるような数を考え、小さいほうから順に並べてみます。
49、58、67、76、85、94、139、・・・・・
このとき、となり同士の数字の間隔は、最も大きいところでいくつになっているでしょうか。
その“間隔”を答えてください。
2.解答例1(中村明海さん、Michaelさん、Taroさん、Gouさん、たこやき大学さん、ちえんかん#2期さん、あんみつさん、C-Dさん、うっしーさん、トトロ@Nさん、高橋道広さん、M.Hossieさん、有無相生さん、ちーくん、他多数)
今回は、中村明海さんの証明が詳しいので、これをご紹介することにします。
整数を百位以上の「上位桁」とそれ未満の「下位桁」に分けて考えます。
(1)与えられた「上位桁」に対する「下位桁」の配列
00〜99までの100個の整数を13で割った余りがmであるものを小さい順につないだものを(鎖m)と名づけます。
例えば、「上位桁」が123だとすると、その桁の和は6。従って、下位桁の和は、13−6=7。つまり下記(鎖7)の07〜70が「下位桁」につくことになります。
(2)鎖の中での最大間隔
これは(1)を眺めてわかるように49です。これがひとつの候補。
(3)鎖のつなぎ目の最大間隔
鎖の終端が最小となるのは、(鎖6)のときで60。
鎖の先端が最大となるのは、(鎖12)のときで39。
もし、(鎖6)から(鎖12)に繋がることがあれば、それが最大で 、間隔は39−60+100=79になります。
では、(鎖6)から(鎖12)につながるための条件を調べてみましょう。
□99・・960→△00・・039(ただし△=□+1)
(鎖6)の上位桁の和を13で割った余り(以下、単に余りといいます)は13−6=7、
(鎖12)の上位桁の和の余りは13−12=1。△=1のとき、余りは1ですから、□=0として、99・・9(n桁)という数で余りが7となるものを見つけるてみましょう。
すなわち、9nの余りが7となればいいわけです。
9と13は互いに素ですから、このようなnは必ず存在します。つまり、n=8のときが、条件を満たす最小値です。
(4)結論
間隔の最大は79である。
その最小の場合は、9999999960−10000000039である。答:79
以上