第２５１問の解答

１．問題　［その他（つるかめ算）］

マサルさんとトモエさんが、ある大きな水槽に水を入れる作業をしています。

２人は手動ポンプを使って作業しているので、一定間隔ごとに「作業」と「休み」を繰り返しています。また、作業をしているときは、マサルさんは１分間に４リットル、トモエさんは１分間に３リットルの水を水槽に入れることができます。

結局２人は３０分で水槽に１０２リットルの水を入れることができました。この３０分間のうち、２人がともに「作業」していた時間の総和と、２人がともに「休み」であった時間の総和は同じで、これらは２人のうち少なくとも一方が「作業」していた時間の総和のちょうど半分であったそうです。

このとき、
　（１）「マサルさんだけが作業していた時間の総和」
　（２）「トモエさんだけが作業していた時間の総和」
をそれぞれ求めてください。

２．解答例１（ちえんかん＃２期さん、Gouさん、高橋道広さん、ゆんななこさん、M.Hossieさん、トトロ＠Ｎさん、長野美光さん、他多数）

下図のように線分図で考えます。

参考図1

　　
題意より、「どちらかが作業している時間の総和」、「２人とも作業している時間の総和」および「２人とも休憩している時間の総和」は全て等しくなるので、それぞれ１０分と分かります。
　（式）
　　(a+b+c)/2=c=d
　　(a+b)+c+d=30　より、a+b=c=d=10を得る。

「２人とも作業している時間」では、１分あたり４＋３＝７リットル入れられるので、合計１０分間で７×１０＝７０リットル入れられます。

従って、「どちらか１人が作業している」１０分間では、１０２−７０＝３２リットル入れたことになります。

もし仮に、この１０分間、トモエさんだけが作業していたとすると、３×１０＝３０リットルしか入れられません。

トモエさんの替わりにマサルさんが作業すると１分あたり４−３＝１リットルよけいに水を入れることができますので、３２−３０＝２リットル多く入れるには２分間マサルさんが作業したことになります。

従って、トモエさんは１０−２＝８分間作業したことになります。
　（式）
　　a+b=10　・・・　（１）
　　4a+3b=32　・・・　（２）
　（２）−（１）×３よりa=2、（１）×４−（２）よりb=8を得ます。

　

答：（１）２分　（２）８分

以上

３．解答例２（小杉原啓さん、うっしーさん、他）

「２人とも作業している時間の総和」と「２人とも休憩してる時間の総和」は等しいので、下図のように時間を入れ替えて考えます。

参考図2

マサルさんの作業時間計をＸ＝ａ＋ｃ＝ａ＋ｄ、
トモエさんの作業時間計をＹ＝ｂ＋ｃ　とおくと、
　Ｘ＋Ｙ＝３０
　４Ｘ＋３Ｙ＝１０２　より、Ｘ＝１２、Ｙ＝１８を得る。

単独で作業している時間は、
　マサルさん：Ｘ−ｄ＝１２−１０＝２分、
　トモエさん：Ｙ−ｃ＝１８−１０＝８分　となります。