第２５４問の解答
１．問題 ［平面図形］
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２．解答例１（ちーくん、高橋道広さん、吉川マサルさん、他）
△ＯＡＨ≡△ＯＡＩより、∠ＯＡＨ＝∠ＯＡＩ＝ａとおきます。
同様に、△ＯＤＩ≡△ＯＤＪより、∠ＯＤＩ＝∠ＯＤＪ＝ｄとおきます。
題意より、２ａ＋ｃ＝１８０度。
四角形ＡＢＣＤの内角の和は３６０度だから、ｂ＋２ａ＋２ｄ＋ｃ＝３６０度、
よって、ｂ＋２ｄ＝１８０度と分かります。さて、点Ｂ'を辺ＡＤ上に、ＩＢ'＝ＨＢとなるようにとります。
（ちーくんの解法による）
△Ｂ'ＤＯについて、内角の和は１８０度だから、
∠ＤＯＢ'＋ｂ＋ｄ＝１８０
よって、∠ＤＯＢ'＝ｄとなり、△Ｂ'ＤＯはＢ'Ｄ＝Ｂ'Ｏの二等辺三角形となります。次に、Ｂ'からＤＯに下ろした垂線の足をＥとすると、ＤＥ＝ＯＥ＝３ｃｍ。
従って、△ＤＥＢ'≡△ＯＥＢ'は、辺の長さが３：４：５の直角三角形と分かります。また、△ＤＩＯ∽△ＤＥＢ'より、ＯＩ＝ＤＢ×Ｂ'Ｅ/ＢＤ＝６×４/５＝４．８ｃｍ。
よって、ＯＨ＝ＯＪ＝ＯＩ＝４．８ｃｍ。従って、
△ＡＢＯ＋△ＤＯＣ
＝1/2×ＡＢ×ＯＨ＋1/2×ＣＤ×ＯＪ
＝1/2×（ＡＢ＋ＣＤ）×４．８
＝1/2×１３×４．８
＝３１．２ｃｍ2なお、高橋道広さんは、点Ｂ'を辺ＣＤ上にＯＢ＝ＯＢ'となるように取り、
また、マサルさんは、△ＤＩＯを点Ｏを基点として回転してＯＩがＯＨに重なるようにして、
いずれも上記とほぼ同様に解いています。答：３１．２ｃｍ2
以上
３．解答例２（武田浩紀さん、圭太さん、医学部性さん、水田江楠さん、小西孝一さん、他）
△ＡＢＯと△ＤＯＣを、ＡＢとＤＣを底辺にしてくっつけます。
すると、ＯＨ＝Ｏ'Ｊ（＝ｈとおく）なので、ＯＯ'はＡＣと平行になります。
△ＯＤＯ'について、∠ＯＢＯ'＝ｆとおくと、ｂ＋ｆ＋ｄ＝１８０度になります。
ところが、解答例１で得たように、ｂ＋２ｄ＝１８０度なので、ｆ＝ｄ、
よって、△ＯＤＯ'は、ＯＤ＝ＯＯ'の二等辺三角形となります。ＯからＤＯ'に、およびＤからＯＯ'に下ろした垂線の足をそれぞれＥ、Ｆとします。
ＤＥ＝Ｏ'Ｅ＝３ｃｍより、△ＯＥ'Ｏは、辺の長さが３：４：５の直角三角形、
よって、ＯＥ＝４ｃｍと分かります。△ＯＤＯ'＝1/2×ＤＯ'×ＯＥ＝1/2×ＯＯ'×ＤＦ
1/2×６×４＝1/2×５'×ｈ
よって、ｈ＝２４／５＝４．８ｃｍとなります。従って、
△ＡＢＯ＋△ＤＯＣ
＝1/2×ＡＢ×ｈ＋1/2×ＣＤ×ｈ
＝1/2×（ＡＢ＋ＣＤ）×ｈ
＝1/2×１３×４．８
＝３１．２ｃｍ2
（その他の解法）
- 余弦定理、正弦定理、三角関数の倍角定理等を駆使して解く ・・・
中村明海さん、sodoさん、M.Hossieさん、有無相生さん、他