第２５５問の解答

１．問題　［速さの問題］

ある川の上流のＡ港にマサルさん、下流のＢ港にトモエさんがいます。２人はモーターボートに乗ってＡ港とＢ港の間を１往復することにしました。

まず、トモエさんが出発し、その●分後にマサルさんが出発します。２人はともに、目的地に到着すると■分間休んでから反対方向に出発します。すると、２人が２度目に出会った地点は、Ａ港とＢ港を３：２に分ける点で、Ｂ港寄りであったそうです。

また、もしもマサルさんが休憩なしで往復していたなら、２人が２度目に出会う地点と１度目に出会う地点は同じになっていたということです。

このとき、●と■の比を求めてください。

ただし、２人の乗るモーターボートは同じで、上流から下流に向かうときには時速５０km、下流から上流に向かうときには時速３０kmの速度が出るものとします。

　

２．解答例１（長野美光さん、中村明海さん、数楽者さん、ふじさきたつみさん、高橋道広さん、トトロ＠Ｎさん、大野稔さん、他多数）

下図のようなダイアグラムで考えます。

参考図1

２度目に出会ったのがＡＢ間を３：２で分ける点なので、アとイの三角形は相似で相似比は３：２。
よって、t6（=t7＋t2)：t3＝３：２。

ＡからＢ、およびBからＡへの速度はそれぞれ一定なので、t1＝t2＋t7＝t6、t5＋t2＝t2＋t3。
よって、t1＝t6＝3、t5＝t3＝２。

従って、ウとエの三角形は相似で相似比は２：３。
すなわち、ＡＣ：ＣＢ＝２：３。

また、マサルさんがBで休憩なしに往復すると、C地点で再び出会うことから、t1＝t2＋t3。
よって、■＝t2＝t1−t3＝１。

マサルさんが最初に●分間休憩する替わりに、上流のＤ地点から出発したものとすると、最初に出会うまでの時間に２人が進んだ距離は速度に反比例するので、ＤＣ：ＣＢ＝５：３。
よって、ＤＡ＝３となります。

従って、●＝t7＝t1×３/８＝９/８。
よって、●：■＝９/８：１＝９：８。

答：９：８

以上

３．解答例２（小杉原啓さん、有無相生さん、他）

ＡＢ間の距離＝７５０Ｌ（ｋｍ）とします。
ＡＣ＝４５０Ｌ、ＢＣ＝３００Ｌとなります。

参考図2

２度目に出会うまでの時間は、
　マサルさん：●＋７５０Ｌ／５０＋■＋３００Ｌ／３０
　トモエさん：７５０Ｌ／３０＋■＋４５０Ｌ／５０

すなわち、
　●＋■＋２５Ｌ＝■＋３４Ｌ
よって、●＝３４Ｌ−２５Ｌ＝９Ｌ

また、最初にトモエさんがＡ港に着くまでと、マサルさんがＢ港に着くまでの時間差を▲とします。

　●＋７５０Ｌ／５０＋▲＝７５０Ｌ／３０
よって、▲＝２５Ｌ−（９Ｌ＋１５Ｌ）＝Ｌ

ところで、四角形アとイは題意から合同であることから、
　■＝●−▲＝９Ｌ−Ｌ＝８Ｌ
従って、●：■＝９Ｌ：８Ｌ＝９：８。