第257問の解答


1.問題 空間図形、平面図形

問題図
図のような三角錐ABCDがあります。

この三角錐は、AB9cmAC15cmAD=16cmBC12cm∠ABC=90度となっています。
また、∠BAC∠CADで、頂点Aに集まる3つの角の和180度になっています。

では、三角錐ABCD表面積何cm2でしょうか。

2.解答例1(ヒデー王子さん、小杉原啓さん、トトロ@Nさん、まるケンさん、他)

三角錐の展開図を△ACDを中心に書くと、図1のようになる。

参考図1

ここで、∠BAC∠CAD∠ABD=180度だから、B、A、B1は1直線上にある。
また、B、C、B2も1直線上に並ぶように見えますが、それを直接証明することは難しい。

(B、C、B2が1直線上にあること)
そこで、B2は、辺BCの延長上にCB2=BC=9cmにとり、D'を直線AD(またはその延長線)上にD'B1=D'B2となるようにとる。
また、点EB1B2の中点、DEを延長しACとの交点をFとする。

D'B1=D'B2より、D'B1B2垂直2等分線上にあるので、D'EB1B2直交する。
また、B1B2ACと平行より、D'FACに直交する。

中点連結定理より、AEBB2に平行でAE=BB2×1/2=BC=12cm
同様にECは、BB1に平行でEC=AB=9cm

従って、△AEF△CABとなり、AF=AE×4/5=12×4/5
また、△D'AF△CABとなり、AD'=AF×5/3=12×4/5×5/3=16cm

よって、D'Dと一致する。

さてここで、もし実際のB2BCの延長線上になく、別の位置B'にあると仮定する。
すると、D'B'=B1D'=D'B2CB'=CB212cmCD'は共通と3辺が等しくなり、△D'CB'△D'CB2
すなわち、これはB'B2と異なることに反する。
よって、B、C、B2は1直線上に並びます。

(三角錐の表面積)
図2で考えます。
△ABC=1/2×9×12=54cm2
△ACD=1/2×15×(16×4/5)=96cm2
よって、四角形ABCD=△ABC+△ACD=54+96=150cm2

なお、図3のように△ACDをひっくり返すと、台形になり、
面積は1/2×(9+16)×12=150cm2と求まります。

参考図1b 参考図1a

ここで、四角形ABCD△DBA△DBCに分割する。
すると、△DB1A△DBAは底辺が9cmで等しく高さが共通より、面積は等しい。
同様に、△DCB2△DCBは底辺が12cmで等しく高さが共通より、面積は等しい。
よって、△DB1A△DCB2=△DBA+△DCB=150cm2

以上から、求める表面積は150×2=300cm2

答:300cm2

以上


3.解答例2

図1の展開図で、△ABを裏返して、辺AD辺ABと平行に、点B点Dにくっつけるように移動します(図4)。

参考図2

(△ABDを移動して台形を作る)
α
=∠BCA、β=∠BAC、γ=∠B1ADとおきます。
γ=180度−2β=2α
よって、三角関数の倍角公式より、
sinγ=sin2α=2sinαcosα=2×3/5×4/5=24/25
cosγ=cos2α−sin2α=(4/5)2−(3/5)27/25
これより、AE=ADsinγ=16×7/25、ED=ADcosγ16×24/25
B1F=ABsinγ9×24/25AF=AB1cosγ9×7/25
FD=AD−AF=16−9×7/25

以上を算数的に考えると、次のようになります。
AG=AD×3/5=16×3/5JH=KG=AG×3/5=16×9/25
DG=AD×4/5=16×4/5DH=DG×4/5=16×16/25
よって、AE=DJ=DH−JH=16×16/25−16×9/25=16×7/25
IG=AG×4/5=16×12/25GH=DG×3/5=16×12/25
よって、ED=IG+GH=16×24/25
=AB×ED/AD=9×24/25AF=AB1×AE/AD=9×7/25
FD=AD−AF=16−9×7/25

さて、DF'A'D'と直交しているので、ABとも直交、
よって、E、D、F'1直線上に並びます。

また、F'D'=FD=16−9×7/25=337/25、EB=AB+AE=9+16×7/25=337/25。
よって、F'D'EB。従って、D'BCの延長線上にあります。

さらに、EF'=ED+BF=16×24/25+9×24/25=(16+9)×24/25=24
従って、BD'=EF'=24、CD'=BD'−BC=24-12=12

すると、DD'=DB2CD'=CB2より、△DCD'≡△DCB2
よって、D'2は一致します。

また、∠A'DF'=90度−γ=∠ADE、よってA、D、A'1直線上にあります。
以上から、求める三角錐の表面積は、台形A'ABD'の面積に等しく、
 1/2×(9+16)×24=300cm2となります。

答:300cm2

以上


4.解答例3ミミズクはくず耳さん、まるケンさん、他

まず、三角錐は一意的に決まることに注意しましょう。
何故なら、題意より△ABC、△ACD、△ADBとも、2辺とこれを挟む角が決まっていますので、それぞれ一意的に決まります。
すると△BCD3辺が決まるので、これも一意的に決まります。

さて、図6のように辺の長さが3:4:5の直角三角形に相似な3種類の三角形をくっつけます。すなわち、△ABCは、3×3:3×4:3×5、△CEFは4×3:4×4:4×5、△ACFは4×3:4×4:4×5になっています。

参考図3

すると、∠ACB+∠ACF+∠FCE=(∠ACB+∠FCE)+∠ACF
 =(∠ACB+∠CAB)+90度=90度+90度=180度
よって、B、C、E1直線上に並びます。
FE、ABとも辺BEに直交するので、四角形ABDF台形となります。
ちなみに、この台形の面積は、1/2×(9+16)×24=300cm2です。

ここで、辺AF上にAD=16cmとなるように点Dをとります。DF=AF−AD=9cm
そして、△EFDを裏返して点E点Dに、点F点Aにくっつけるように移動し、点Dが移動したものを点Gとします。

AG=DF=9cm=ABBC=CE12cmGDDEAD16cmであることから、△GAD、△ABC、△DCE、△ACDを合わせた図形は、ある三角錐の展開図になっています。

ところで、∠GAD+∠DAB=∠DFE+∠DAB=180度、よってB、A、G1直線上に並びます。従って、図6の四角形GBEDは、本題の三角錐の展開図の一つになります

先に示したように三角錐は一意的に決まりますので、
求める表面積は、四角形GBED=台形ABDF=300cm2となります。


4−2.解答例3−2Mr.Xさん)・・・追加しました

三角錐の4つの面をばらして、△ACDを裏返しにし、△ABC辺ACに合わせます。

参考図6

題意より∠ACD∠BACだから、
 ∠BCD=∠BCA+∠ACD
     =∠BCA+∠BAC
     =90度
従って、四角形DABC台形となります。

BC=9cm、CD=12cmより、△BCD∽△ABC
よって、∠BDC=∠ACB=∠ABD。 

さて、頂点Dから∠EDB=∠BDCとなるように直線を引き、DE=AB=9cmとします。

△EDB△ABDについて、ED=AB、BDは共通、∠EDB=∠ABDだから
二辺挟角が等しいので合同。
よって、EB=AD=22

△EDC△B111について、ED=A11=9cm、DC=A11=16cm、
∠EDC=2×∠BDC=2×(90度−∠BAC)=∠B111となり、
二辺挟角が等しいので合同。
よって、EC=B1122

△EBC△D222について、EB=D22、EC=D22、BC=C22=12cmとなり、
三辺が等しいので合同。

従って、△B111+△D222
 =△EDC+△EBC
 =四角形DEBC
 =四角形DABC

従って、三角錐の表面積
 =2×四角形DABC
 =2×1/2×(9+16)×12
 =300cm2


5.解答例4マサルさん、ヘロン久野さん、他

図7のように、辺の長さが15:20:25の直角三角形ACEFCEを合わせて二等辺三角形EAFを作ります。この面積は、15×20=300cm2です。

参考図4

辺EA上にEB=16cmとなるように点Bを、辺EF上にED=9cmとなるよう点Dをとります。そして、△EBDを裏返して、点Bを点Dに、点Dを点Bにくっつけるよう移動します。
このとき、点Eが移動した先をE'とします。

すると、AB=BE'=9cmAC=FC=15cmFD=E'D=16cmとなり、
これらは△BCDを底辺とする三角錐の展開図になっていることが分かります。

さて、△ABC△ACEは、AB:AC=9:15=3:5AC:AE=15:25=3:5
∠BAC∠CAEは共通より、△ABC△ACE
よって、△ABCは辺の長さが9:12:15直角三角形となります。

また、∠BAC=∠CFD∠BAC+∠CFD+∠BED=2×(∠BAC+∠BEC)=180度となり、図7が本題の三角錐の展開図となることが分かります。

従って、求める表面積=△EAC=300cm2


6.解答例5高田修成さん、ハラギャーテイさん、有無相生さん、M.Hossieさん、a_pepperさん、他多数

図8のように、α、β、γをとります。
sinα=cosβ=3/5、cosα=sinβ=4/5。

参考図5

題意より、
 γ=180度−2β=2×(90−β)=2α
よって、倍角公式より、
 sinγ=sin2α=2sinαcosα=2×3/5×4/5=24/25
 cosγ=cos2α=cos2α−sin2α=(4/5)2−(3/5)27/25

余弦定理より、
 1=√(92+162−2・9・16・cosγ)=(√6409)/5
 CD=√(152+162−2・15・16・cosβ)=√193

正弦弦定理より、
 sinδ/AD=sinβ/CD
よって、
 sinδ=AD/CD・sinβ=16/√193×4/5=(64/965)√193
 cosδ=√(1−sin2δ)=(27/965)√193
また、余弦定理より、
 cosε=(CD2+122−B2D2)/(2・CD・12)
  =(193+144−6409/25)/(24√193)
  =(84/4825)√(193)
 sinε=√(1-cos2ε)=(337/4825)√193

従って、
△ABC=1/2×9×15×sinβ=1/2×9×15×4/5=54cm2
△ACD=1/2×16×15×sinβ=1/2×16×15×4/5=96cm2
△AB1=1/2×9×16×sinγ=1/2×9×16×24/25=1728/25cm2
△DCB2=1/2×12×CD×sinε=1/2×12×√193×(337/4825)√193=2022/25cm2
よって、求める三角錐の表面積
 =△ABC+△ACD+△AB1D+△DCB2
 =54+96+1728/25+2022/25
 =150+150
 =300cm2
と分かります。

 

(参考)B、C、B2が、一直線上に並ぶこと

cos(α+δ)=cosαcosδ−sinαsinδ
  =4/5・(27/965)√193−3/5・(64/965)√193
  =-(84/4825)√193

従って、cos(α+δ)=−cosεとなり、
0<α+δ<180度、0<ε<180度から、(α+δ)+ε=180度が成り立ち、
B、C、B2一直線上に並ぶことが分かります。

(参考)∠AB1D+∠CB2D=90度となること

正弦弦定理より、
 sinφ/AB1=sinγ/B1
よって、
 sinφ=AB1/B1Dsinγ
  =9/((√6409)/5)・24/25
  =(216/32045)√6409

 sinψ/CD=sinε/DB2
よって、
 sinψ=CD/DB2sinε
  =√193/((√6409)/5)・(337/4825)√193
  =(337/32045)√6409

従って、sin2φ+sin2ψ=(2162+3372)/320452・6409=となり、
図8より、0<φ<90度、0<ψ<90度から、φ+ψ=90度が成り立ちます。