第２５９問の解答

１．問題　［平面図形］

問題図

上図のような四角形ＤＢＣＥがあります。
この四角形の内部に点Ａをとったところ、△ＡＢＣ、△ＡＤＥはいずれも∠Ａ＝１５０度の二等辺三角形になりました。

ここで、四角形ＤＢＣＥの４つの辺のそれぞれの中点Ｐ、Ｎ、Ｑ、Ｍをとります。
すると、ＰＮ＝５cmとなったそうです。

では、△ＱＭＮの面積は何cm2でしょうか。

２．解答例１(医学部性さん、長野美光さん、名倉っちさん、小杉原啓さん、M.Hossieさん、武田浩紀さん、高橋道広さん、有無相生さん、あやのりんさん、他多数)

参考図1

（四角形ＭＰＮＱが平行四辺形となること）

△ＤＢＥにおいて、中点連結定理により、
　　ＰＭとＢＥは平行で、ＰＭ＝ＢＥ×1/2。
△ＣＥＢにおいて、中点連結定理により、
　　ＮＱとＢＥは平行で、ＮＱ＝ＢＥ×1/2。
よって、ＰＭとＮＱは平行かつＰＭ＝ＮＱ＝ＢＥ×1/2。

同様にして、ＰＮとＭＱは平行かつＰＮ＝ＭＱ＝ＤＣ×1/2。

なので、四角形ＭＰＮＱは平行四辺形となる。

（四角形ＭＰＮＱは菱形となること）

△ＡＥＢと△ＡＤＣについて、　ＡＥ＝ＡＤ、ＡＢ＝ＡＣ、および
　∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ＋∠ＤＡＢ＝∠ＢＡＣ＋∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＤ
よって、二辺挟角が等しいので△ＡＥＢ≡△ＡＤＣ。

従って、ＢＥ＝ＤＣ。
よって、ＰＭ＝ＮＱ＝ＰＮ＝ＭＱ＝５ｃｍとなることから、四角形ＭＰＮＱは菱形となります。

（∠ＭＱＮ＝３０度となること）

∠MQQ'＝∠ＱＮＣ＝∠ＥＢＣ、∠Q'QN＝∠ＰＮＢ＝∠ＤＣＢ。
よって、
　∠MQN
＝∠MQQ'＋∠Q'QN
＝∠ＥＢＣ＋∠ＤＣＢ
＝（∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＡ）＋（∠ＡＣＢ−∠ＡＣＤ）
＝∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ　（∵∠ＥＢＡ＝∠ＡＣＤ）
＝１８０度−∠ＢＡＣ
＝３０度。

（△QMNの面積）

点Mから辺NQに下ろした垂線の足を点Hとします。

参考図2

∠MQN=３０度より、MH＝MQ×1/2＝5/2ｃｍ、
よって、△QMN＝1/2×5×5/2＝25/4cm2。　

答：25/4ｃｍ2

以上

（その他の解法）

・四角形DBCEが長方形となる特別の場合で考える　・・・　
　トトロ＠Ｎさん、あんみつさん、CRYING DOLPHINさん、a_pepperさん、Mikiさん、ミミズクはくず耳さん、
　C_GUMさん、Gouさん、ハラギャーテイさん、他