第259問の解答


1.問題 平面図形

問題図

上図のような四角形DBCEがあります。
この四角形の内部に点Aをとったところ、△ABC△ADEはいずれも∠A=150度二等辺三角形になりました。

ここで、四角形DBCEの4つの辺のそれぞれの中点P、N、Q、Mをとります。
すると、PN=5cmとなったそうです。

では、△QMN面積何cm2でしょうか。

2.解答例1(医学部性さん、長野美光さん、名倉っちさん、小杉原啓さん、M.Hossieさん、武田浩紀さん、高橋道広さん、有無相生さん、あやのりんさん、他多数)

参考図1

四角形MPNQ平行四辺形となること)

△DBEにおいて、中点連結定理により、
  PMBEは平行で、PM=BE×1/2
△CEBにおいて、中点連結定理により、
  NQBEは平行で、NQ=BE×1/2
よって、PMNQは平行かつPM=NQ=BE×1/2。

同様にして、PNMQは平行かつPN=MQ=DC×1/2。

なので、四角形MPNQ平行四辺形となる。

四角形MPNQ菱形となること)

△AEB△ADCについて、 AE=ADAB=AC、および
 ∠BAE=∠DAE+∠DAB=∠BAC+∠DAB=∠CAD
よって、二辺挟角が等しいので△AEB≡△ADC

従って、BE=DC
よって、PM=NQ=PN=MQ=5cmとなることから、四角形MPNQ菱形となります。

∠MQN=30度となること)

∠MQQ'=∠QNC=∠EBC∠Q'QN=∠PNB=∠DCB
よって、
 ∠MQN
=∠MQQ'+∠Q'QN
=∠EBC+∠DCB
=(∠ABC+∠EBA)+(∠ACB−∠ACD)
=∠ABC+∠ACB (∵∠EBA=∠ACD)
=180度−∠BAC
30度

(△QMNの面積)

点Mから辺NQに下ろした垂線の足を点Hとします。

参考図2

∠MQN=30度より、MH=MQ×1/2=5/2cm
よって、△QMN=1/2×5×5/2=25/4cm2。 

答:25/4cm2

以上


(その他の解法)

・四角形DBCEが長方形となる特別の場合で考える ・・・ 
 トトロ@Nさん、あんみつさん、CRYING DOLPHINさん、a_pepperさん、Mikiさん、ミミズクはくず耳さん、
 
C_GUMさん、Gouさん、ハラギャーテイさん、他