第２６１問の解答

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１．問題　［場合の数］

６０分の録画が可能なビデオテープがあります。 このビデオテープに、３０分番組と１５分番組を録画するなら、 ３０分番組→３０分番組 ３０分番組→１５分番組→１５分番組 １５分番組→３０分番組→１５分番組 １５分番組→１５分番組→３０分番組 １５分番組→１５分番組→１５分番組→１５分番組 の５通りの録り方が考えられますね。 では、１８０分の録画が可能なビデオテープに３０分番組と１５分番組を録画するとしたら、何通りの録り方が考えられますか。

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２．解答例１(長野美光さん、ヒデー王子さん、トトロ＠Ｎさん、Taroさん、CRYING DOLPHINさん、ＡЯＯＴさん、中村明海さん、鉄老さん、ぶるぼんさん、絵鞠さん、ゆんななこさん、他多数)

１５分を１単位で考えると３０分は２単位、１８０分は１２単位となります。
そこでｎ単位を録画できる場合の数をF_nとし、F_nの漸化式を考えましょう。

まず、F₁＝１、F₂＝２となります。

また、ｎ≧３のときは、
　・最後が１単位のとき・・・F_n-1通り
　・最後が２単位のとき・・・F_n-2通り
より、　F_n＝F_n-1＋F_n-2　が成り立ちます。

そこで、順次計算していくと、F₁₂＝２３３を得ます。

　

答：２３３通り

以上

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３．解答例２(C_GUMさん、sodoさん、ちーくん、ミミズクはくず耳さん、まるケンさん、DrKさん、M.Hossieさん、ZIMBAさん、有無相生さん、他多数)

２単位の個数で場合分けしてみます。

• ０個のとき：全て１単位なので１通り

• １個のとき：１単位１０個、２単位１個なので、合計１１個のステップから
  　　２単位の位置を選ぶ₁₁C₁＝１１通り

• ２個のとき：１単位８個、２単位２個なので、合計１０個のステップから
  　　２単位の位置を選ぶ₁₀C₂＝４５通り
  　　　　　・・・

• ６個のとき：全て２単位なので１通り

合計＝₁₂C₀＋₁₁C₁＋₁₀C₂＋₉C₃＋₈C₄＋₇C₅＋₆C₆
　　　＝１＋１１＋４５＋８４＋７０＋２１＋１
　　　＝２３３通り

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４．解答例３(H.Takaiさん)

下図のような１２×１２の経路図で考えます。

　右へ１区間進む：本問題の１単位録画する
　上へ１区間進む：　　〃　　２単位録画する
と対応させることができます。

最初の格子点には１とおき、各格子点では左と下の格子点の数字の和を順次計算することで最短経路数を計算することができます。

１２単位録画する場合の数は、上図７個所の格子点の経路数合計と考えることができるので、１＋２１＋８４＋４５＋１１＋１＝２３３通りとなります。

なお、この７個所の格子点上の経路数は、解答例２で２単位の数ごとに場合分けした数字と一致しています。

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