第２６２問の解答
１．問題 ［空間図形］
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(参考) ３D図 |
２．解答例１(辻さん、ヌオの母さん、Mikiさん、有無相生さん、Nagahiroさん、M.Hossieさん、アークさん、村田耕一朗さん、DrKさん、他多数)
頂点A を始点にして、空間ベクトルをb→＝AB→、c→＝AC→、d→＝AD→の１次式で表現することにします。
また、CQ：QD＝k：(1-k)、PT：TQ＝s：(1-s)、ST：TR＝t：(1-t) とおきます。
すると、
AP→＝1/2b→、AQ→＝(1-k)c→+kd→、AR→＝1/4d→、
AS→＝1/4b→＋3/4c→
および
AT→＝(1-s)AP→+sAQ→
＝ (1-s)・1/2b→＋s{(1-k)c→＋kd→}
＝(1-s)/2b→＋s(1-k)c→＋skd→ ・・・（１）
そして、
AT→＝(1-t)AS→＋tAR→
＝(1-t){1/4b→＋3/4c→}＋t・1/4d→
＝(1-t)/4b→＋3(1-t)/4c→＋t/4d→ ・・・（２）
と表せます。ここで、b→、c→、d→は線形独立なので、 （１）、（２）より
(1-s)/2 ＝ (1-t)/4 、s(1-k)＝3(1-t)/4 、sk＝t/4
が成り立ちます。これらを解くと、 k＝1/10、s＝5/8、t＝1/4 が得られます。
よって、CQ：QD＝１：９、PT：TQ＝５：３となります。
答：（１）１：９ （２）５：３以上
３．解答例２(へロン久野さん、Taroさん、ＫＩＮさん、みっちんさん、他)
下図のように、BCをx軸にとり、 底面（BCD）をxｙ平面に置くように設定します。
正四面体の一辺の長さを２とすると、A、B、C、D各点の座標は次のように与えられます。
A(1, √3/3, 2√6/3)、B(0,0,0)、C(2, 0, 0)、D(1, √3, 0)
同様にして、P、R、S各点の座標値は以下のようになります。
P(1/2, √3/6, √6/3)、R(1, √3/2, √6/2)、S(3/2, 0, 0)
線分PQとRSとは点Tで交わるから、PQおよびRSは同一平面上に存在します。そこでその平面の方程式を一般形として次式で表し、その方程式に上記P、R、Sの各点の座標を代入することにより、係数 a、b、c を求めます。
(x/a)＋(y/b)＋(z/c)＝1 ・・・ 一般式
このようにして求めた平面の方程式は下記の様になる。
６x−8√3y＋5√6z＝9 ・・・ （１）
この平面と線分CDの交わる点が点Q。
ここでCDを通る直線の方程式は
y＝-√3x＋2√3 ・・・ （２）
また、点Qのz座標は0であるから、残りのx座標とy座標を（１）、（２）より求めれば、
x＝19/10、ｙ＝√3/10
を得ます。よって、点Qの座標は（19/10, √3/10, 0)となります。
従って、 CQ：QD＝1：9 ・・・ 設問１の答
点Qの座標が求まったので、後はPQとRSをそれぞれxy平面に投影させて交点Ｔを求めます。投影時のそれぞれの直線の方程式は
PQ： y＝-(√3/21)x＋4√3/21 ・・・ （３）
RS： y＝−√3x＋3√3/2 ・・・ （４）
となるので、（３）、（４）より、
x＝11/8、y＝√3/8
を得ます。よって、点Tのxy平面への投影点T'の座標は(11/8, √3/8）と分ります。
従って、点P、Ｔ'、Qの各x座標間の距離の比が、そのままPTとQTの長さの比となるから、これを計算して
PT：TQ＝5：3 ・・・ 設問２の答
を得ます。
４．解答例３(ＡЯＯＴさん、摩天楼さん、CRYING DOLPHINさん、高橋道広さん、ふじさきたつみさん、ノーザンビレッジさん、ヒデー王子さん、他多数)
点P、Q、R、Sは同一平面上にあります。
この平面と直線DBの交点をUとすると、直線RP、QSはともに点Ｕを通ります。
△ＡＢＤと直線ＲＵに関してメネラウスの定理より、
(AP/PB)・(BU/UD)・(DR/RA)＝1
(1/1)・(BU/UD)・(3/1)＝1
BU/UD＝1/3
よって、DB：BU＝２：１。△ＲＵＤと直線ＡＢに関してメネラウスの定理より、
(RP/PU)・(UB/BD)・(DA/AR)＝1
(RP/PU)・(1/2)・(4/1)＝1
RP/PU＝1/2
よって、RP：PU＝１：２。△ＤＢＣと直線ＵＱに関してメネラウスの定理より、
(DU/UB)・(BS/SC)・(CQ/QD)＝1
(3/1)・(3/1)・(CQ/QD)＝1
CQ/QD＝1/9
よって、CQ：QD＝１：９。 ・・・ 設問１の答△ＵＱＤと直線ＢＣに関してメネラウスの定理より、
(US/SQ)・(QC/CD)・(DB/BU)＝1
(US/SQ)・(1/10)・(2/1)＝1
US/SQ＝5
よって、ＵＳ：ＳＱ＝５：１。△ＵQPと直線SRに関してメネラウスの定理より、
(US/SQ)・(QT/TP)・(PR/RU)=1
(5/1)・(QT/TP)・(1/3)=1
QT/TP＝3/5
よって、PT：TQ＝5：3。 ・・・ 設問２の答
５．解答例４(あやのりんさん、他)
点Sと点Rが重なるようにしてSの方から見て、以下はこの方向に垂直な平面に投影した点について考えることにします。
ＡＲ：ＲＤ＝ＣＳ：ＳＢ＝１：３、およびＡＤ＝ＢＣより四角形ＡＢＤＣは台形になります。
すると、ＢＰ：ＰＡ＝１：１、ＢＵ：ＵＡ＝ＤＳ：ＳＡ＝３：１より、
ＢＰ：ＰＵ：ＵＡ＝２：１：１。さて、△ＡＳＣ∽△ＳＢＤで相似比は１：３、
よって、ＢＤ＝１２とおくとＡＣ＝ＢＤ×1/3＝４となります。点Ｐを通ってＢＤと平行に引いた直線とＣＤの交点をＰ'、ＡＤとの交点をＰ''
点Ｓを通ってＢＤと平行に引いた直線とＡＢの交点をＵ、ＣＤとの交点をＵ'、
および点Ｑを通ってＢＤと平行に引いた直線とＡＢの交点をＱ'とします。△ＡＰＰ''∽△ＡＢＤ、ＡＰ：ＰＢ＝１：１よりＰＰ''＝ＢＤ×1/2＝６。
△ＡＵＳ'∽△ＡＢＤ、ＡＵ：ＵＢ＝１：３よりＵＳ＝ＢＤ×1/4＝３。
△ＤＰＰ''∽△ＤＡＣ、ＤＰ''：ＰＣ＝１：１よりＰ''Ｐ'＝ＡＣ×1/2＝２。
△ＤＳＵ'∽△ＤＡＣ、ＤＳ：ＳＣ＝１：３よりＳＵ'＝ＡＣ×3/4＝３。さらに、
△ＱＳＵ'∽△ＱＰＰ'、ＳＵ'：ＰＰ'＝３：８より、
ＰＴ：ＴＱ＝Ｕ'Ｐ'：ＱＵ'＝５：３。 ・・・ 設問２の答Ｕ'Ｐ'＝５とおくと、ＱＵ'＝３。
ＣＵ'＝Ｕ'Ｐ'＝５より、ＣＱ＝ＣＵ'−ＱＵ'＝２。
Ｐ'Ｄ＝ＣＰ'＝１０。よって、ＣＱ：ＱＤ＝２：１８＝１：９。・・・ 設問２の答
６．解答例５(高橋道広さん、トトロ＠Ｎさん、他)
平面PSQRと直線ACの交点をWとします。
AC上にBCとPUが平行となる点Uをとります。BC：PU＝4：2より、SC：PU＝1：2。
よって、中点連結定理より、WC：CU＝1：1。AP：PB＝1：1より、AU：UC＝1：1。
従って、AC：CW＝2：1次に、AD上にCVとQRが平行になる点Vをとります。
AV：VR＝AC：CW＝2：1、
ここで、VR＝１とすると、AV＝2、AR＝3。AR：RD＝1：3より、RD＝9となる
よって、CQ：QD＝VR：RD＝1：9。 ・・・ 設問１の答
また、PS：SW＝UC：CW＝1：1。
ここで、QR＝9とします。
DR：RV＝9：1より、VC＝10。AC：CW＝2：1より、RW＝15、
よって、WQ＝RW−RQ＝15−9＝6、
従って、WQ：QR＝6：9＝2：3。
QXがSRに平行になるように、PW上に点Xを取ります。
SX：XW＝RQ：QW＝3：2。ここで、SX＝３とすると、XW＝2、SW＝5。
PS：SW＝1：1より、PS＝5。
従って、PT：TQ＝PS：SX＝5：3。 ・・・ 設問２の答
７．解答例６(高田修成さん、馬渕の算数星人さん、tub@saさん、まるケンさん、他)
底面BCDを下に、頂点Ａを上にして、真上から見た図を考えます。
ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤの長さを３とします。
Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓは同一平面にあるので、ＲＰとＱＳ、およびＤＢを延長すると、同じ点（Ｕとします）で交わります。
さらに、上図のように各点をとると、三角形の相似から、
ＤＥ＝ＥＢ＝ＢＵ、よってＥＰ＝２、ＰＧ＝１、ＭＵ＝ＥＧ＝３となります。また、ＭＢ＝ＢＧ＝ＧＦ＝ＦＳ＝ＳＣ（＝１とおきます）となるので、
ＧＪ＝３/２、ＦＫ＝ＮＣ＝３/４。
よって、ＤＫ＝６＋３/４＝２７/４。△ＤＫＱ∽△ＣＫＮで、ＤＫ：ＣＮ＝２７/４：３/４＝９：１。
よって、ＣＱ：ＱＤ＝１：９。 ・・・ 設問１の答また、ＦＨ＝ＦＣ×1/１０＝９/５、ＳＨ＝４/５。
従って、ＯＳ＝ＰＪ×４/１４＝５/２×２/７＝５/７、
ＶＫ＝ＰＪ×９/１４＝５/２×９/１４＝４５/２８、
ＶＦ＝ＶＫ−ＦＫ＝４５/２８−２１/２８＝２４/２８＝６/７。よって、ＡＶ＝ＡＦ−ＶＦ＝２−６/７＝８/７、
ＲＶ＝ＲＡ＋ＡＶ＝１＋８/７＝１５/７。
従って、ＦＷ：ＷＳ＝ＲＶ：ＯＳ＝１５/７：５/７＝３：１、
ＦＷ＝３/４、ＷＳ＝１/４。よって、ＰＴ：ＴＱ＝ＧＷ：ＷＨ＝（ＧＦ＋ＦＷ）：（ＷＳ＋ＳＨ）
＝（１＋３/４）：（１/４＋４/５）＝（２０＋１５）：（５＋１６）
＝３５：２１＝５：３ ・・・ 設問２の答
８．解答例７(あんみつさん、他)
ABが下に、CDが上になるように置き、真上から見ると、正方形のように見えます。
また、ABの中点PとCDの中点が重なって見えます。
そして、AR：RD＝CS：SB＝１：３だから、RSとACは平行に見えます。さらに、TはRSとPQの交点だから、上図（図１）で△CST∽△TDR、相似比１：３と見えるので、TはPとCのちょうど真ん中にあるように見え ます。
さて、ABのある位置の高さを0、CDのある位置の高さを8と します。
CS：SB＝１：３だからSの高さは６、AR：RD＝１：３だからRの高さは２、
そして、ST：TR＝１：３だから、Tは高さ５にあります。Qは高さ8だから、PT：TQ＝５：３。 ・・・ 設問２の答
上図（図１）でTPの長さを５とおくとQT＝３、
またCT＝TP＝５だからCQ＝CT−QT＝２、PD＝CP＝１０、
従ってCQ：QD＝２：１８＝１：９。 ・・・ 設問１の答
９．解答例８(ぶぶおパパさん、うっしーさん、ミミズクはくず耳さん、他)
正四面体を下図のように立方体に埋め込んで考えます。
上図で、立方体の１辺の長さを４とすると、ＡＲ＝ＣＳ＝ＦＤ＝１、
ＲＦ＝ＡＤ−（ＡＲ＋ＦＤ）＝２。ＲＴ：ＴＳ＝ＤＲ：ＳＣ＝３：１となるので、ＲＥ：ＥＦ＝ＲＴ：ＴＳ＝３：１。
よって、ＲＥ＝３/２、ＥＦ＝１/２。従って、ＰＴ：ＴＱ＝ＰＧ：ＧＨ＝５/２：３/2＝５：３。 ・・・ 設問２の答
また、ＥＴ＝ＦＳ×３/４＝３、ＧＴ＝ＥＴ−ＥＧ＝１、
ＨＱ＝ＧＴ×ＰＨ/ＰＧ＝１×（４）/（５/２）＝８/５。
ＣＱ＝ＨＣ−ＨＱ＝２/５、ＱＤ＝ＨＱ＋ＨＤ＝１８/５。よって、ＣＱ：ＱＤ＝２/５：１８/５＝１：９。 ・・・ 設問２の答
１０．解答例９(ＡЯＯＴさん、鉄老さん、 他)
点Dに1のおもりを置きます。
点ＲでＡ、Ｄのおもりが釣り合うように、Aに３のおもりを置きます。
（１×３＝３×１）点ＰでＡ、Ｂのおもりが釣り合うように、Bに３のおもりを置 きます。
（３×２＝３×２）点ＳでＢ、Ｃのおもりが釣り合うように、Cに９のおもりを置 きます。
（３×３＝９×１）点ＱでＣ、Ｄのおもりが釣り合うことから、ＣＱ：ＱＤ＝１：９。 ・・・ 設問２の答
（９×１＝１×９）点Qにかかる力は１＋９＝１０、点Pにかかる力は３＋３＝６ 。
よって、点ＴでＰ、Ｑのおもりが釣り合うことから、
ＰＴ：ＴＱ＝１０：６＝５：３。（６×５＝１０×３） ・・・ 設問１の答
