第２７１問の解答

１．問題　［場合の数］

マサルさんとツヨシ君がベーゴマ遊びをしています。

２人はともに３個のベーゴマを持って勝負をはじめました。
互いに手持ちのベーゴマの中から１個を使って勝負をし、
勝ったほうは相手のベーゴマをもらうことができます。
　　（引き分けはありません）

その結果、１１試合目でマサルさんの手持ちのベーゴマ３個が全てなくなり、
勝負はツヨシ君の勝利で終わりました。

では、この２人の勝負の星取表として考えられるものは何通りあるでしょうか。

２．解答例１(ミミズクはくず耳さん、ちーくん、ＡЯＯＴさん、トトロ＠Ｎさん、武田浩紀さん、高橋道広さん、小西孝一さん、 他多数)

下図のような経路図を用いて計算します。

参考図１

まず最初の地点を１とします。
次に、各交差点では、そこに至る交差点の数字を加えていきます。
１１回目で勝負が決まるのは８１通りあることになります。

答：８１通り

以上

３．解答例２(有無相生さん、 他)

１回ごとに勝−負の状態を遷移図をもとに、下表のように計算します。

参考図２ 参考図２

t回目の勝−負＝nのときの場合の数を、P(n,t)とおきます。
t=0では、P(0,0)=1、P(n,0)=0(n≠0)
ｔ>1では、
　P(3,t+1)=P(2,t)　　・・・（１）
　P(2,t+1)=P(1,t)　　・・・（２）
　P(1,t+1)=P(2,t)+P(0,t)　　・・・（３）
　P(0,t+1)=P(1,t)+P(-1,t)　　・・・（４）
　P(-1,t+1)=P(0,t)+P(-2,t)　　・・・（５）
　P(-2,t+1)=P(-1,t)　　・・・（６）
　P(-3,t+1)=P(-2,t)　　・・・（７）
が成り立つ。

順次計算していけば、P(3,11)=81を得るので題意を満たすのは８１通りとなり、ます。

４．解答例３(数楽者さん、ヒデー王子さん、 うっしーさん、kozzyさん、他)

解答例１，２で容易に気がつくことは、
　ｔが偶数のとき：P(3,t)=0
　ｔが奇数のとき：P(3,t+2)=P(3,t)×３　（t≧3）・・・（ア）
となることです。　
これより、P(3,2m+1)=3m(m≧0)と表せますので、P(3,11)=34=81通りとなります。

［（ア）の証明］

参考図３

まず、対称性より、P(-n,t)=P(n,t)が成り立ちますのでn≧0について考えれば十分です。

また、解答例２の（１）、（２）より、P(3,n+2)=P(2,n+1)=P(1,n)となるので、
n=1についての一般式を得れば良いことになります。

（２）より、
　P(2,2m)=P(1,2m-1) (m≧1)
（４）より、
　P(0,2m)=P(1,2m-1)+P(-1,2m-1)=P(1,2m-1)×2
（３）より、
　P(1,2m+1)=P(2,2m)+P(0,2m)=P(1,2m-1)+P(1,2m-1)×2
　　＝P(1,2m-1)×3

よって、P(3,2m+3)=P(3,2m+1)となり、（ア）が成り立ちます。

（その他の解法）

・樹形図等を用いて数え上げる・・・

あんみつさん、菊地翔伍さん、BossFさん、英理 さん、M.Hossieさん、チョコとプラスアルファさん、GENIUSさん、大岡敏幸さん、他