第272問の解答


問題 平面図形

問題図
左図のような△ABCがあります。

いま、辺AB、辺AC斜辺とする直角二等辺三角形APBAQCを図のように作ったところ、△APQの面積が10cm2△BCPの面積が16cm2△BCQの面積が14cm2となりました。

このとき、
(1)五角形APBCQ面積何cm2でしょうか?

(2)PQ長さ何cmでしょうか?

 


解答例1(ヒデー王子さん、永井暁さん、他)

辺BC中点M、およびPQ中点Dとします。
△PBM点Pを中心に回転し辺PBPAに重ねたものを△PB'M'とし、△QCM点Qを中心に回転し辺QCQAに重ねたものを△QC'M''とします。

参考図1

 ∠PAM'∠QAM''∠APQ
∠PBM∠QCM∠APQ
=(∠ABC+45度)+(∠ACB+45度)+(45度+∠BAC+45度)
=(∠ABC∠ACB∠BAC)+180度
=360度 
より、AM'M''一直線上に並び、しかもAM'AM''(=BC)だから、
M'M''は一致します。・・・(1)
これを改めてNと呼ぶことにします。

PMPNで、∠MPN∠MPA∠APN∠MPA∠BPM=90度より
△PMN
は、直角二等辺三角形
同様に、△QMN直角二等辺三角形

従って、四角形NPMQ正方形となります。

さて、△ANP△BMP=1/2×△BCP8cm2
  △ANQ△CMQ=1/2×△BCQ7cm2
よって、△PNQ△ANP△ANQ△APQ=8+7+10=25cm2

△PNQの面積は、PDを一辺とする正方形の面積に等しいので、
PD5cm、よって、PQ10cmと分かります。 

また、△PMQ△PNQ25cm2
よって、五角形APBCQ
△APQ+△BMP△CMQ△PMQ
=10+8+7+25=50cm2 となります。

答:(1)10cm (2)50cm2

以上


解答例2(CRYING DOLPHINさん、他)

辺BC中点M、辺ABの中点をD、およびACの中点をEとします。

参考図2

中点連結定理より、DM=1/2×ACEQ
同様に、EM=1/2×ABDP
また、∠PDM=90度+∠BDM=90度+∠MEC∠MEQ

従って、△DPM△EMQは、2辺と挟角が等しいので合同
よって、PMQM

次に、PMを軸として△PBMを折り返したものを△PB'M
QMを軸として△QCMを折り返したものを△QC'Mとします。

解答例1の(1)と同様にして、B'C'は一致します。
これを改めてFと呼ぶことにすると、
FP=BP=APFQ=CQ=AQ
よって、三辺が等しいことから△FPQ△APQ

よって、五角形APBCQ
(△APQ+△BMP△CMQ)×2
=(10+8+7)×2=50cm2 となります。

さて、∠FMP∠BMP∠FMQ∠CMQより、
∠FMP∠FMQ)×2=∠BMC=180度、
よって、∠FMP∠FMQ=90度。

従って、△PMQ直角二等辺三角形となります。
△PMQ=10+8+7=25cm2 となるので、PQ10cmとなります。


解答例3(マサルさん、武田浩紀さん、 名倉っちさん、ふじさきたつみさん、他)

五角形APBCQ辺BC中点Mを中心に180度回転したものを、A'P'CBQ'とします。

参考図3

 ∠PBQ
=360度−(∠PBC∠Q'BC
=360度−(∠PBC∠QCB
=360度−(∠ABC+45度+∠ACB+45度)
=90度+180度−(∠ABC∠ACB
=90度+∠BAC
∠PAQ

よって、△APQ△B'PQ'は、2辺と挟角が等しいので合同
従って、PQ'PQ

また、∠QPQ'∠BPQ'∠QPB∠APQ∠QPB=90度。
従って、△PQ'Q直角二等辺三角形となります。
また、MQQ'中点だから△MPQ'直角二等辺三角形となります。

△BPQ'△APQ10cm2
△PBM=1/2×△PBC8cm2
△Q'BM=1/2×△Q'BC=1/2×△QBC7cm2

よって、△MPQ'=10+8+7=25cm2
これは、PQ'の半分の長さを1辺とする正方形の面積に等しいことから、
1/2×PQ'=5cm。
従って、PQPQ'10cmとなります。

また、△MPQ△MPQ'と合同な直角二等辺三角形となるので、
△MPQ25cm2

よって、五角形APBCQ
△APQ+△BMP△CMQ△MPQ
=10+1/2×16+1/2×14+25=50cm2 となります。


解答例4(ミミズクはくず耳さん、N.Nishiさん、他)

点Pを中心に△PBCを回転し、PBPAに重なるようにしたものを△PAC'
点Qを中心に△QCBを回転し、QCQAに重なるようにしたものを△QAB'とします。

参考図4

解答例1の(1)と同様にして、C'B'は一致しますので、これを改めてRとおきます。RAを延長し、PQとの交点をMとします。

点Pを中心に△APMを回転し、PAPBに重なるようにしたものを△BPM1
点Qを中心に△AQMを回転し、QAQCに重なるようにしたものを△CQM2
とします。

∠PBM∠PBC∠PAM∠PAR=180度、
∠QCM2∠QCB∠QAM∠QAR=180度より、
M1BCM2、一直線上に並びます。

また、∠MPQ=∠BPM∠BPQ=∠APM∠BPQ=90度、
同様に∠PQM2=90度となります。
また、PM1QM2PMQMPQ
従って、四角形PM1M2Qは、面積がPQを1辺とする正方形のちょうど半分となる台形になります。

△BPM△CQM2は、底辺の長さが等しいので、面積の比は高さの比に等しい。よって、△BPM△CQM2△PBC△QCB8:7

また、△APM△AQMは高さが共通なので、面積比は底辺の比に等しい。
よって、PMQM△APM△AQM△BPM△CQM28:7

従って、△BPM△APM△APQ×8/15=16/3cm2
△CQM2△AQM△APQ×7/15=14/3cm2となります。

よって、M1B:BC△BPM△PBC=1:3、
  M2C:BC
△CQM2△QBC=1:3
従って、M1B:BC:M2C1:3:1となります。

すると、△PM1M2△PBC×5/3=80/3cm2
△PQM2△PM1M2の高さはPQと共通なので、
△PQM2△PM1M2×7/8=70/3cm2
よって、台形PM1M2Q△PM1M2+△PQM2=80/3+70/3=50cm2

△PQM△BPM△CQM2より、
五角形APBCQ=台形PM1M2Q50cm2

よって、PQを1辺とする正方形の面積は、50×2=100cm2
PQ10cmとなります。


解答例5(うっしーさん、 他)

点Qを中心に△APQを回転し、APCQに重なるようにしたものを△QCP'
△PBCを180度回転し、BCCBに重なるようにしたものを△P''CBとします。

参考図5

これまで同様にP''P'と一致します。
よって、△QBP'=14+16+10=40cm2

点Pを中心に△QPBを回転し、PBPAに重なるようにしたものを△PAR
点Qを中心に△PCQを回転し、QCQAに重なるようにしたものを△SAQとします 。

PRPSPQ
∠RPQ∠RPA∠APQ∠QPB∠APQ90度
同様に、∠PQS90度
従って、四角形RPQS正方形となります。

また、△RAS△QBP'は三辺が等しいので合同、
△RAS
△QBP'40cm2

従って、△RAS△APQ=正方形RPQS×1/2=50cm2
よって、正方形RPQS=100cm2となるので、正方形の1辺PQ10cmと分かります。

四角形PBCQ4つの三角形に分割し、面積をそれぞれとします。
 △QBC14 ・・・(1)
 △PBC16 ・・・(2)
 △RPA△SAQ=(d)+(
  =正方形RPQS−(△RAS△APQ)=50 ・・・(3)

(3)−(1)−(2)より、
 (2c)−()−()=50−30
よって、10。 ・・・(4)

(4)を(1)に代入して、
 (−10)+=14
よって、24となります。

従って、五角形APBCQ
=10+
=10+()+(
=10+16+24
50cm2


解答例6(トトロ@Nさん、他)

点R辺QAの延長線上に、点T辺QCの延長線上に、および点Sを四角形RSTQ長方形になるようにとります。

参考6

△RPA△SBPは、PABP∠PAR=90−∠BPS∠BPS、および∠RPA=90−∠BPS∠SBPより、1辺と2挟角が等しいので合同
よって、RPSB

従って、△APQ△QBC
=1/2×AQ×RP+1/2×QC×BT
=1/2×QC×SB+1/2×QC×BT
=1/2×QC×(SBBT
△QPC
よって、△QPC=△APQ△QBC=10+14=24cm2

従って、五角形APBCQ
△APQ△QPC△PBC
=10+24+16=50cm2

PQの長さは、省略。


解答例7(川田智之さん、 他)

解答例5と同様に点P'を取ります。また、PCQBの交点をとします。

参考7

△QPP'PQ=P'Q直角二等辺三角形、およびPBP'C平行四辺形となります。

従って、△SBP'△PBP'=1/2×PBP'C=16cm2
また、△QSP'△QBP'=40−16=24cm2
よって、BS:SQ△SBP':△QSP'2:3

従って、△SBC:△SCQBS:SQ2:3
よって、△SBC△QBC×2/5=14×2/5=5.6cm2
 △SCQ△QBC×3/5=14×3/5=8.4cm2
 △PBS△PBC△SBC=16−5.6=10.4cm2
 △PSQ△PBS×3/2=10.4×3/2=15.6cm2

よって、五角形APBCQ
=10+10.4+15.6+5.6+8.4=50cm2

また、△QPP'△PBQ△QBP'△PBP'=26+40−16=50cm2
△QPP'
直角二等辺三角形なので、PQ=10cmと分かります。


(その他の解法)

・座標、三角関数等を用いて解く・・・
 Taroさん、有無相生さん、高橋道広さん、長野美光さん、電卓マニアさん、
 
M.Hossieさん、sodoさん、ばつ丸さん、Parpunteさん、他

(解答例8)

BCの中点Mを原点にとり、A(a,b)B(-c,0)C(c,0)とおきます。

参考図8 (参考図)
参考図9

 Px=-c+((a+c)cos45°-bsin45°)/√2=(a-b-c)/2
 Py=  ((a+c)sin45°+bcos45°)/√2=(a+b+c)/2
 Qxc+((a-c)cos(-45°)-bsin(-45°))/√2=(a+b+c)/2
 Qy=  ((a-c)sin(-45°)+bcos(-45°))/√2=(-a+b+c)/2

従って、△PBCcPy(a+b+c)/2=16、
よって、a+b+c=32/c ・・・(1) 
また、△QBCcQy(-a+b+c)/2=14、
よって、-a+b+c=28/c ・・・(2) 

(1)−(2)より、 2a=4/c
よって、a=2/c。 ・・・(3)
(1)+(2)より、 2(b+c)=60/c
よって、b=30/c-c。 ・・・(4)

∠ABC=α∠ACBβ∠BACγとおきます。

また、△APQ
=1/2×AP×AQ×sin(γ+90°)
=1/2×AB/√2×AC/√2×cos(γ)
=1/4×AB×AC×cos(180°-α-β)
=−1/4×AB×AC×cos(α+β)
=−1/4×AB×AC×{cosαcosβ-sinαsinβ}
=−1/4×{ABcosαACcosβ-ABsinαACsinβ}
=−1/4×{(a+c)(c-a)-b2}
=1/4×(a2+b2-c2)=10
よって、a2+b2-c2=40。 ・・・(5)

(3)、(4)を(5)に代入して、
 (2/c)2+(30/c-c)2-c2=40、
 c2=9.04、
よって、c=√9.04≒3.01cm
従って、(3)、(4)より、
 a=2/√9.04≒0.67cmb=30/√9.04-√9.04≒6.97cm

さて、△PMQ直角二等辺三角形であることが次のようにして分かります。
まず、QxPy=(a+b+c)/2、Qy=−Px=(-a+b+c)/2より、
Py/Px)・(Qy/Qx)=(Py/Px)・(−Px/Py)=−1より、PMQM直交します。
そして、QM2Qx2Qy2Py2Px2PM2より、PMQM
実際に計算すると、
PM
2={(-a+b+c)/2}2+{(a+b+c)/2}2
  ={a2+(b+c)2}}/2
  ={(2/c)2+(30/c)2}/2
  =(904/c2)/2
  =100/2=50
よって、PMQM=5√2。
PQ
=√2×PM=√2×5√2=10cm

従って、△MPQ=1/2×PM225cm2
よって、五角形APBCQ
△APQ+△BMP△CMQ△MPQ
=10+1/2×16+1/2×14+25=50cm2 となります。