第２７３問の解答

問題　［整数の性質］

ある２ケタの整数があります。この整数は、奇数であることが分かっています。

いま、この２ケタの整数に１〜９までのどの整数をかけても、各位の数の和は、もとの２ケタの整数の各位の数の和と変わらなかったそうです。

では、もとの２ケタの整数として考えられるものをすべて答えてください。

解答例１(CRYING DOLPHINさん、永井暁さん、Taroさん、中川幸一さん、名倉っちさん、有無相生さん、DrKさん、川田智之さん、他)

もとの整数をｎ＝ｑ×１０＋ｒ、
これをｍ倍したものをｎ×ｍ＝ｐ'×１００＋ｑ'×１０＋ｒ'とします。

　ｎ＝ｑ×９＋（ｑ＋ｒ）、ｎ×ｍ＝ｐ'×９９＋ｑ'×９＋（ｐ'＋q'＋r'）
と表せる。
従って、題意より、
　ｎ−ｑ×９＝ｎ×ｍ−（ｐ'×９９＋ｑ'×９）
　ｎ×（ｍ−１）＝ｐ'×９９＋（ｑ＋ｑ'）×９　・・・（１）

１≦ｍ≦９で（１）が成り立つことより、ｎは９の倍数でなければならない。

題意より、ｎは２桁の奇数であることから、候補となる整数は、
２７、４５、６３、８１、９９に絞られます。これら５つの整数について、ｍ倍した整数と、その各位の和を計算すると下表のようになります。

参考図１

従って、題意を満たす整数は４５と９９の２通りとなります。

答：４５、９９

以上

その他（EXCELなどを用いて計算して求める）

まるケンさん、丸天後藤様、ちば けいすけさん、峰富士子さん、ぶるぼんさん、他