第274問の解答


問題 平面図形

問題図
左図のような△ABCがあります。

この三角形は、面積が9cm2辺AB6cm∠ACB45度となっています。また、∠BAC90度より大きいそうです。

このとき、∠ABC大きさを求めてください。

解答例1(長野美光さん、あんみつさん、 まるケンさん、他)

△ABC外接円の中心、辺AB中点、点から辺ABに下ろした垂線の足とします。

参考図1

△ABC=1/2×AB×CH=9cm2
よって、CH=9/AB×2=9/6×2=3cm

弧ABに対する中心角∠AOB円周角∠ACBなので、
∠AOB∠ACB×2=45×2=90度
従って、△ABOAOBO直角二等辺三角形となります。
よって、OM=AM=BM=1/2×AB=3cm、∠BAO=∠ABO=45度となります。

CHOMは、ともに辺ABに対して垂直だから平行、しかも長さが等しいので、四角形MOCH長方形となります。
従って、ABOC平行、よって∠AOC∠BAO45度

弧ACに対する中心角∠AOC円周角∠ABCなので、
∠ABC∠AOC×1/2=45×1/2=22.5度となります。

答:22.5度

以上


解答例2(CRYING DOLPHINさん、他)

∠ABC=22.5度と仮定します。点から辺BCに下ろした垂線の足とします。

図1
参考図2−1
図2
参考図2−2

図1のように、△ABCを2つ合わせでできる△ABA'と△ACA'8個ずつ使って、図2のように一辺の長さが×2の正方形の中に敷き詰めることができます。(ただし、ABACAA'

従って、△ABC×2×8=(2a)2=4a2
よって、△ABC=1/4×a2=1/4×29cm2

これより、∠ABC22.5度とする△ABCは題意を満たします。

ところで、点Bを中心とする半径aの円と、を通り辺BC45度をなす直線の交点であるので、下図のように最大2個(A'とします)しか存在しない。
しかるに、∠BAC∠BA'C180度なので、∠BACが180度より大きいものは、このうち1個だけである。

参考図2−3

よって、∠ABC22.5度と結論づけることができる。


解答例3(ちば けいすけさん、takuさん、小西孝一さん、トトロ@Nさん、鉄老さん、他)

辺BC上に∠CAN90度となるように点Nを取ります。
また、点Cおよびから辺ABに下ろした垂線の足をそれぞれ、およびとします。

参考図3

解答例1と同様に、△ABC9cm2より、CH3cmが得られます。

さて、∠ANC=180−(∠CAN∠ACN)=180−(90+45)=45度、よって、△ANC直角二等辺三角形となります。
従って、ANACとなります。

△ANM△CAHについて、ANAC∠NAM=90−∠CAH∠ACH、および∠ANM=90−∠NAM∠CAH
よって一辺とその両端の角が等しいので合同
従って、AM=CH=3cmBM=AB−AM=3cmとなります。

△ANM△BNMについて、BMAM=3cm、MNは共通、∠BMN∠AMN=90度、よって2辺挟角が等しいので合同

これより、∠NBM∠NAMとなります。
ところが、∠ANC△NBAの外角より、
 ∠NBM∠NAM∠ANC
 ∠ABC×2=45度、
よって∠ABC22.5度となります。

(参考)
結果として同じ図になりますが、点MAB中点AB垂直二等分線BC交点とした場合、△ANM△BNMまではすぐ分かりますが、これらが△ACHと合同となることを示すのはかなり難しいようです。

従って、解答例2のように∠ABC22.5度と仮定して題意を満たすことを示し、しかも題意を満たす△ABC一意的に定まることを用いると良いでしょう。


解答例4(ふじさきたつみさん、他)

辺BCを一辺とする正方形を考え、対角線の交点をOとします。

参考図4

△ABCを中心に反時計回りに90度回転したものを△A'CC'とし、BAの延長とA'Cとの交点をFとします。

A'CAB90度回転したものだから両者は直交します。
従って、△ABC=1/2×AB×CFより、CF3cmとなります。

A'FA'CCF=6−3=3cm

よって、△BA'F△BCFについて、BA'BCBFは共通、∠BA'F=∠BFC90度より、2辺挟角が等しいので合同
従って、∠A'BF∠CBF=∠ABC)。

よって、∠ABC×2=∠OBC=45度、
従って、∠ABC=45×1/2=22.5度となります。


解答例5(うっしーさん、中川幸一さん、ハラギャーテイさん、高橋道広さん、M.Hossieさん、King of Kingさん、他)

参考図5

上図より、AB=aとおくと、
 AHCHa・sinθBHa・cosθ
よって、
 △ABC=1/2・(a・cosθa・sinθ)・a・sinθ
  
=1/2×a2・(cosθsinθ)・sinθ
従って、
 1/2×62・(cosθ+sinθ)・sinθ=9、
 2(cosθ+sinθ)・sinθ=1、
 2cosθ・sinθ+2sin2θ=1。

三角関数の倍角公式より、sin2θ=2cosθ・sinθcos2θ=1−2sin2θ
よって、sin2θcos2θ、従ってtan2θ=1。
∠BAC>180度より、θ<45度、よって、=45度、
θ=22.5度となります。