第２７６問の解答

問題　［整数の性質］

マサルさんとトモエさんが次のような会話をしています。

マサル：「何か好きな３ケタの整数を思い浮かべてごらん。」
トモエ：「ん〜、ＯＫ、決まったよ」
マサル：「じゃあ、それらの数の、各ケタを入れかえてできる５種類の整数を全部たして
ごらん。」
トモエ：「ん〜、電卓使って良い？（笑）ん〜と、１６８８ね。」

　さて、「トモエさんが最初に思い浮かべた整数」はいくつだったのでしょうか？

解答例１(Taroさん、ミミズクはくず耳さん、 長野美光さん、小杉原啓さん、トトロ＠Ｎさん、CRYING DOLPHINさん、ふきゅさん、まおさん、あまれっとさん、中川幸一さん、有無相生さん、M.Hossieさん、高橋道広さん、みーちゃんぶちゅうさん、DrKさん、チョコとプラスアルスァさん、他)

求める整数を、n=a×100+b×10+cとおきます。

参考図１

各ケタを入れかえてできる５種類の整数は、
　a×100+c×10+b
　b×100+a×10+c
　b×100+c×10+a
　c×100+a×10+b
　c×100+b×10+a
となります。ただし、題意より、0<a,b,c<10。

従って、これらに元の整数を加えると、
　2(a+b+c)×100+2(a+b+c)×10+2(a+b+c)=1688+n
 　(a+b+c)×222=7×222+134+n　・・・（１）
よって、n+134は222の倍数となります。

m=a+b+c-7とおくと、（１）より、
m×222=n+134<1000+134=1134
従って、m+7<1134/222=5.1
よって、m≦3。

さて、
m=1のとき、n=222×1-134=88 不適
m=2のとき、n=222×2-134=310 不適
m=3のとき、n=222×3-134=532 適。

従って、n=５３２が求める整数と分かります。

答：５３２

以上

解答例２(ＡЯＯＴさん、長野美光さん、N.Nishiさん、TEGさん、なみはやさん、他)

求める整数を、n=a×100+b×10+cとおきます。
各ケタを入れかえてできる５種類の整数の、百位の数字を加えたものをA、十位の数字を加えたものをB、一位の数字を加えたものをCとします。

参考図２

上図より、
　 a＋2b＋2c＝A　・・・（１）
　2a＋ b＋2c＝B　・・・（２）
　2a＋2b＋ c＝C　・・・（３）
が成り立ちます。

A-B＝b-a、B-C＝c-b、C-A＝a-cより、A、B、Cの２個ずつの差は、9-1＝8以内となります。

従って、入れ替えた整数の合計が１６８８となるには、繰り上がりを考慮すると、A＝15、B＝17、C＝18以外には題意に適するものがありません。

よって、
　 a＋2b＋2c＝15　・・・（１）'
　2a＋ b＋2c＝17　・・・（２）'
　2a＋2b＋ c＝18　・・・（３）'
となります。

（１）'＋（２）'＋（３）'より、
　5(a＋b＋c)＝50
よって、
　a＋b＋c＝10
2(a＋b＋c)＝20　・・・（４）

（４）−（１）'より、a=20-15=5、
（４）−（２）'より、b=20-17=3、
（４）−（３）'より、c=20-18=2
を得ます。

従って、求める整数は５３２となります。

解答例３(永井暁さん、圭太さん、かなさん、 ハラギャーテイさん、他)

求める整数を、n=a×100+b×10+cとおきます。

各ケタを入れかえてできる５種類の整数は、
　a×100+c×10+b
　b×100+a×10+c
　b×100+c×10+a
　c×100+a×10+b
　c×100+b×10+a
となるので、合計すると、
　a×122+b×212+c×221=1688　・・・（１）
となります。

（１）を変形して、
　a×(221-99)+b×(221-9)+c×221＝221×7+141
　(a+b+c-7)×221＝a×99+b+141　・・・（２）
となります。

p＝a+b+c-7とおくと、（２）より、
　a×99+b+141＝p×221　・・・（３）
となります。

1≦a、b、c≦9より、-4≦p≦20、249=221+28≦a×99+b+141≦1113=221×5+8。
よって、（３）より、1≦p≦5の範囲に絞られます。　・・・（４）

さて、（３）を変形して、
　(a×11+b+15)×9＝p×24×9+p×5-6
p×5-6＝(a×11+b+15-p×24)×9　・・・（５）
が得られます。

従って、p×5-6は9の倍数となり、（４）から-1≦p×5-6≦19、
よって、p×5-6＝0、9、18のいずれかとなります。
これより、pが整数となるのは、p×5-6＝9、p＝3のときのみです。　・・・（６）

よって、（５）より、
　a×11+b+15＝73
　a×11+b＝58
　(a-5)×11＝3-b　・・・（７）
を得ます。

-6≦3-b≦2なので、この範囲で11の倍数は0のみ。
従って、a-5＝0、3-b＝0、
よって、a＝5、b＝3となります。

（６）より、a+b+c-7＝3、従って、c＝10-(a+b)＝10-(5+3)＝2となります。

以上から、求める整数は５３２と分かります。