第２７８問の解答

問題　［確からしさ］

マサルさんはお祭りの夜店で、くじ引き屋さんの前でお店のおじさんと次のようなやりとりをしています。

マサル：「ルールは？」
おじさん：「Ａの箱から１本、Ｂの箱から１本、それぞれくじをひいて、両方当たりなら１等ってわけさ。」
マサル：「両方当たる確率はどのくらいなの？」
おじさん：「えーい、ホントは秘密だけど教えちゃおう！ズバリ１０分の１だよ。」
マサル：「じゃ、どっちか一方だけ当たる確率は？」
おじさん：「う〜ん、３０分の１７かな。高いだろう？」
マサル：「箱の中にくじは何本入ってるの？」
おじさん：「Ａ、Ｂどっちも３０本だよ。」
マサル：「ＡとＢ、当たりやすいのはどっち？」
おじさん：「Ａだね！」

（１）　当たりくじはＡの箱、Ｂの箱合わせて何本入っているでしょう？

（２）　Ａの箱には何本の当たりくじが入っているでしょう？

解答例１(ミミズクはくず耳さん、あんみつさん、あまれっとさん、ゆんななこさん、高橋道広さん、ヒッピーさん、バーニィさん、Figoさん、他)

箱Aの当たりくじをa本、箱Bの当たりくじをb本とし、当たる確率をベン図で考えます。

参考図１

両方当たる確率＝a/30×b/30＝1/10
よって、a×b＝90　・・・（１）

Aのみ当たる確率＝a/30×(1-b/30)、
Bのみ当たる確率＝(1-a/30)×b/30、
よって、片方のみ当たる確率
　＝a/30×(1-b/30)＋(1-a/30)×b/30
　＝a/30＋b/30−a/30×b/30×2＝17/30
従って、
　a＋b＝17+1/10×2×30＝23　・・・（２）

90を素因数分解すると、
　90＝1×90、 2×45、 3×30、 5×18、 6×15、 9×10
となります。
この中で足して23になるのは5×18のみ。

参考図２

題意より、a>bだからa＝18、b＝5。

答：（１）２３本　（２）１８本

以上

解答例２(takuさん、N.Nishiさん、中川幸一さん、名倉っちさん、tekiさん、M.Hossieさん、DrKさん、みーちゃんぶちゅさん、Parpunteさん、有無相生さん、巷の夢さん、銀次さん、うっしーさん、大岡敏幸さん、 他)

解答例１の（１）、（２）より、２次方程式の根と係数の関係を用いると、
a、bは、x2-23x+90=0の２根となります。

よって、x＝(23±√(232-4×90))/2＝(23±13))/2＝18、５
題意より、a>bだからa＝18、b＝5。

解答例３(Taroさん、名倉っちさん、ちば けいすけさん、他)

解答例１同様ベン図から、
　少なくともどちらかが当たる確率
＝片方のみ当たる確率＋両方当たる確率
＝17/30＋1/10
＝20/30

よって、どちらもはずれる確率
＝(1-a/30)×(1-b/30)＝1-20/30＝1/3
従って、
 (30-a)×(30-b)＝1/3×30×30＝900　・・・（３）

参考図３

積が90となる整数a、b（a>b）の組み合わせで、（３）を満たすものは、
a＝18、b＝5のみである。