第２７９問の解答

問題　［整数の性質］

一の位の数が７の整数Ａがあります。

この整数Ａの一の位の数（７）を先頭に移動してできる数は、もとの整数Ａの５倍であるそうです。

このとき、もとの整数Ａとして考えられる数のうち、最も小さい数を求めなさい。

解答例１
(CRYING DOLPHINさん、むらかみさん、ちーくんさん、ドッペンさん、あまれっとさん、角田(＾＾)v鉄也さん、Taroさん、まおさん、ちば けいすけさん、ハラギャーテイさん、有無相生さん、航介さん、みーちゃんぶちゅさん、N.Nishiさん、ruruさん、大岡敏幸さん、他)

題意より、
　○○○○○７×５＝７○○○○○、または
　７○○○○○÷５＝○○○○○７
となります。

（掛け算で考える）
参考図１		 （割り算で考える）
参考図２

（掛け算で考える）

・十の位：

一の位の７に５を掛けて、７×５＝３５、
よって十の位は５となり、３が繰り上がります。

・百の位：

十の位の５に５を掛けて、５×５＝２５、
よって５に繰り上がりの３を加えて百の位は８、
２が繰り上がります。

・千の位：

百の位の８に５を掛けて、８×５＝４０、
よって０に繰り上がりの２を加えて千の位は２、
４が繰り上がります。

・万の位：

千の位の２に５を掛けて、２×５＝１０、
よって０に繰り上がりの４を加えて万の位は４、
１が繰り上がります。

・十万の位：

万の位の４に５を掛けて、４×５＝２０、
よって０に繰り上がりの１を加えて十万の位は１、
２が繰り上がります。

・最後：

十万の位の１に５を掛けて、１×５＝５、
よって５に繰り上がりの２を加えて７となるので、
求める整数Aは１４２８５７と分かります。


（割り算で考える）

・先頭の位：

７を５で割った商の１が先頭の位、
残余は７−５＝２と１より２１。
　

・２番目の位：

２１を５で割った商の４が２番目の位、
残余は２１−２０＝１と４より１４。

　
・３番目の位：

１４を５で割った商の２が３番目の位、
残余は１４−１０＝４と２より４２。

　
・４番目の位：

４２を５で割った商の８が４番目の位、
残余は４２−４０＝２と８より２８。

　
・５番目の位：

２８を５で割った商の５が５番目の位、
残余は２８−２５＝３と５より３５。

　
・６番目の位：

３５を５で割ると商が７で、ちょうど割り切れるので、
求める整数Aは１４２８５７と分かります。

　

答：142857

以上

解答例２
(ヒデー王子さん、トトロ＠Ｎさん、きょえぴさん、中村明海さん、BossFさん、長野美光さん、永井 暁さん、 他)

整数Aの７以外の部分をPとし、その桁数をnとすると、
　A＝P×１０＋７
　A×５＝７×１０n＋P
と表すことができます。

よって、
　（P×１０＋７）×５＝７×１０n＋P
　P×４９＋７×５＝７×１０n
　P×７＋５＝１０n　・・・　（１）

従って、１０nは７で割った余りが５となります。

参考図３

よって、n＝５、P＝１４２８５、
従って、A＝P×１０＋７＝１４２８５７。
　

（別解）

（１）より、
　P＝１０n×1/7-5/7　・・・　（２）

ところが、
　1/7＝0.142857142857・・・
　5/7＝0.714285714285・・・
といずれも６桁の数字による循環数となります。

1/7を１０倍ずつするごとに１桁ずれていきます。このとき、（２）より、小数部が5/７と等しくなる必要があります。

参考図４

５桁だけ、ずらしたとき、
　1/7×１０5＝１４２８５．７１４２８５・・・
となるので、
　P＝1/7×１０5−5/7＝１４２８５。
従って、A＝P×１０＋７＝１４２８５７。