第280問の解答


問題 平面図形

問題図

上の左図のような△ABCがあります。

いま、△ABCの内部に点をとったところ、AP=5cm、BP=6cm、CP=3cmとなり、
∠APB∠BPC∠CPA=120度となりました。

また、右図のような正三角形DEFを作ります。
この正三角形DEFは、その内部に点をとると、DQACEQABQFBCとなります。

では、正三角形DEFの面積は、△ABC何倍でしょうか。

解答例1(トトロ@Nさん、 他)

△ABQ△QBC△AQCをそれぞれ△ABCの外側に点対称となるようにおいたものを、△AGB△BHC△ACIとします。

参考図1

すると、四角形AGBQ、四角形QBHC、四角形AQCIは平行四辺形になります。

また、AGBHCIを延長して交わった点をDEFとします。

∠AGB∠AQB=120度より、∠BGE=60度。
∠GBQ∠GBA∠ABQ∠BAQ∠ABQ=60度。
同様に、∠QBH=60度。
従って、∠GBE=60度。
以上より、△GEB正三角形となります。

同様に、△CHF△DAI正三角形となります。

従って、△DEFが求める正三角形となり、
△DEF△ABC×2+△GEB△CHF△DAI

△DEFの一辺は3+5+6=14cmなので、
 △DEF/△ABC
=142/{(142-32-52-62)/2}
=196/63
28/9
となります。

答:28/9倍

以上


解答例2
(
KINさん、うっしーさん、CRYING DOLPHINさん、ヒデー王子さん、きょえぴさん、ちば けいすけさん、高橋道広さん、有無相生さん、N.Nishi さん、あやのりんさん、あまれっとさん、他 多数)

参考図2

上図のように考えると、解答例1と同様に、
 △DEF/△ABC
=142/{(142-32-52-62)/2}
=196/63
28/9
となります。


解答例3 (AЯCさん、他)

点Bを中心に△ABPを反時計回りに60度回転したものを△A'B'Pとします。

参考図3

すると、△AA'B△PP'Bは正三角形となります。

また、
 ∠A'P'B∠PP'B=120+60=180度、
 ∠P'PB∠BPC=60+120=180度より、
A'P'は一直線上に並びます。
A'CAP'P'PPCAPBPCP=5+6+3=14cm

点A'を中心に△AA'Cを時計回りに60度回転したものを△BAC'とします。
すると、△C'A'Cが求める正三角形DEFとなることが分かります。

1辺が1cmの正三角形の面積をとおくと、
∠ABP∠BPC∠APC=120度より、
△ABP=5×6=30△PBC=6×3=18△APC=3×5=15

従って、
 △DEF/△ABC
=14×14/(30+18+15)
28/9
となります。