第２８０問の解答

問題　［平面図形］

問題図

上の左図のような△ＡＢＣがあります。

いま、△ＡＢＣの内部に点Ｐをとったところ、ＡＰ＝５cm、ＢＰ＝６cm、ＣＰ＝３cmとなり、
∠ＡＰＢ＝∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＡ＝１２０度となりました。

また、右図のような正三角形ＤＥＦを作ります。
この正三角形ＤＥＦは、その内部に点Ｑをとると、ＤＱ＝ＡＣ、ＥＱ＝ＡＢ、ＱＦ＝ＢＣとなります。

では、正三角形ＤＥＦの面積は、△ＡＢＣの何倍でしょうか。

解答例１(トトロ＠Ｎさん、 他)

△ABQ、△QBC、△AQCをそれぞれ△ABCの外側に点対称となるようにおいたものを、△AGB、△BHC、△ACIとします。

参考図１

すると、四角形AGBQ、四角形QBHC、四角形AQCIは平行四辺形になります。

また、AG、BH、CIを延長して交わった点をD、E、Fとします。

∠AGB＝∠AQB＝１２０度より、∠BGE＝６０度。
∠GBQ＝∠GBA＋∠ABQ＝∠BAQ＋∠ABQ＝６０度。
同様に、∠QBH＝６０度。
従って、∠GBE＝６０度。
以上より、△GEBは正三角形となります。

同様に、△CHF、△ＤＡＩも正三角形となります。

従って、△ＤＥＦが求める正三角形となり、
△ＤＥＦ＝△ＡＢＣ×２＋△GEB＋△CHF＋△ＤＡＩ

△ＤＥＦの一辺は３＋５＋６＝１４ｃｍなので、
　△ＤＥＦ/△ＡＢＣ
＝１４2/{(１４2-３2-５2-６2)/2}
＝１９６/６３
＝２８/９
となります。

答：２８/９倍

以上

解答例２
(ＫＩＮさん、うっしーさん、CRYING DOLPHINさん、ヒデー王子さん、きょえぴさん、ちば けいすけさん、高橋道広さん、有無相生さん、N.Nishi さん、あやのりんさん、あまれっとさん、他 多数)

参考図２

上図のように考えると、解答例１と同様に、
　△ＤＥＦ/△ＡＢＣ
＝１４2/{(１４2-３2-５2-６2)/2}
＝１９６/６３
＝２８/９
となります。

解答例３　(ＡЯＣさん、他)

点Ｂを中心に△ＡＢＰを反時計回りに６０度回転したものを△Ａ'Ｂ'Ｐとします。

参考図３

すると、△ＡＡ'Ｂと△ＰＰ'Ｂは正三角形となります。

また、
　∠Ａ'Ｐ'Ｂ＋∠ＰＰ'Ｂ＝１２０＋６０＝１８０度、
　∠Ｐ'ＰＢ＋∠ＢＰＣ＝６０＋１２０＝１８０度より、
Ａ'、Ｐ'、Ｐ、Ｃは一直線上に並びます。
Ａ'Ｃ＝ＡＰ'＋Ｐ'Ｐ＋ＰＣ＝ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ＝５＋６＋３＝１４ｃｍ。

点A'を中心に△AA'Cを時計回りに６０度回転したものを△BAC'とします。
すると、△C'A'Cが求める正三角形DEFとなることが分かります。

１辺が1cmの正三角形の面積を１とおくと、
∠ABP＝∠BPC＝∠APC＝１２０度より、
△ABP＝５×６＝３０、△PBC＝６×３＝１８、△APC＝３×５＝１５。

従って、
　△DEF/△ABC
＝１４×１４/（３０＋１８＋１５）
＝２８/９
となります。