第281問の解答
問題 [平面図形]
左図のようなAB=CD=5cmの平行四辺形ABCDがあります。
いま、辺ADの中点Mと頂点Cを結び、線分MC上の点Pと頂点Aを結びました。すると、AP=AB(=5cm)、MP=2cm、PC=4cmとなりました。
このとき、平行四辺形ABCDの面積を求めて下さい。
解答例1(Taroさん、ヒデー王子さん、CRYING DOLPHINさん、名倉っちさん、永井暁さん、きょえぴさん、高橋道広さん、あやのりんさん、あまれっとさん、Parpunteさん、萬田銀次郎さん、他多数)
△CDMを180度回転し、辺DMをAMにくっつけたものを△ECMとします。
∠EAM+∠MAB=∠CDM+∠MAB=180度、
∠EMA+∠AMC=∠CDM+∠AMC=180度、
より、三点E、A、BおよびE、M、Cは一直線上に並びます。△EBPにおいて、EA=AB=AP=5cmより、∠APBは直角になります。
(∠EPA+∠APB=(∠PAB+∠EAP)×1/2=90度)EB=EA+AB=CD+AB=5+5=10cm、
EP=EM+MP=CM+MP=6+2=8cm。
従って、△EBPは辺の長さが3:4:5の直角三角形と相似。
よって、BP=6cmとなります。よって、
平行四辺形ABCDの面積
=△EBC
=1/2×EC×BP
=1/2×12×6
=36cm2
となります。なお、直線BA、CMの交点をEとする方法でも、△EAM≡△CDMより上記同様に求まります。
答:36cm2
以上
解答例2 (トトロ@Nさん、takuさん、ふじさきたつみさん、ばつ丸さん、 他)
対角線BDと辺MCの交点をQとします。
△QBCと△QDMは相似で比はBC:DM=2:1。
従って、CQ:QM=2:1。
よって、CQ=4cm、QM=2cmとなり、QとPは一致します。
また、BP:PD=2:1。△ABPはAB=AP=5cmの二等辺三角形より、
点AからBPにおろした垂線の足をHとすると、BH=HP。
よって、BH=HP=PDとなります。DM:MA=DP:PHより、△DMPと△DAHは相似、
よって、AH=MP×2=2×2=4cm。
従って、△ABH、△APHは辺の長さが3:4:5の直角三角形。よって、BD=BH+HP+PD=3×3=9cm。
平行四辺形ABCDの面積
=△ABD×2
=1/2×BD×AH×2
=1/2×9×4×2
=36cm2
となります。
解答例3 (sugitakukunさん、中川幸一さん、アークさん、他)
APの延長線とCDの交点をN、およびDPの延長線とACの交点をOとします。
AM=MD、CP:PM=4:2=2:1より点Pは△ACDの重心となります。
よって、DN=NC=2.5cm、PN=AP×1/2=2.5cm。
従って、∠DPC=90度となります。よって、△DPCは辺の長さが3:4:5の直角三角形となり、
辺DP=3cmとなります。従って、△MCD=1/2×MC×DP=1/2×6×3=9cm2。
平行四辺形ABCD
=△ACD×2
=△MCD×4
=36cm2。
解答例4 (有無相生さん、他)
点Dを通り辺PAと平行に引いた直線と辺CMの延長線を点Qとします。
QDとAPが平行でAM=MDより△QMD≡△PMA。
よって、QM=PM=2cmとなります。すると、△DQCはDQ=DC=5cmの二等辺三角形で、
しかも、QP=PC=4cmより、点Pは辺QCの中点、
よって、DP⊥QCとなります。従って、△DPCは辺の長さが3:4:5の直角三角形となり、
辺DP=3cmと分かります。以下、解答例3と同じ。