第２８２問の解答

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問題　［平面図形］

左図のような三角錐ＡＢＣＤがあります。 この三角錐は、ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ、ＢＣ＝ＣＤ＝５cm、ＢＤ＝６cmになっています。 また、∠ＡＣＢ＋∠ＡＢＤ＝９０度であるそうです。 では、この三角錐の表面積は何cm2でしょうか。

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解答例１(名倉っちさん、ＫＩＮさん、まおさん、ふきゅさん、sugitakukunさん、トトロ＠Ｎさん、あやのりんさん、ミミズクはくず耳さん、takuさん、kurosioさん、さとけんさん、BossFさん、cmさん、ss-7さん、きょえぴさん、あまれっとさん、高橋道広さん、DrKさん、tamaさん、M.Hossieさん、有無相生さん、オモシロ写真館館長「影」さん、santoさん、ひろぽんさん、他多数)

△CDBを底面にして展開図で考え、辺DB、BC、CDの中点をE、F、Gとします。

△CDB、△A₁BD、△A₂CB、△A₃DCはそれぞれ二等辺三角形となります。
また、CB＝CD＝５ｃｍより、△A₃DC≡△A₂CB。

DB＝６ｃｍより、DE＝DB×1/2＝３ｃｍ。
よって、△CDBは辺の長さが３：４：５の直角三角形、
従って、CE＝４ｃｍと分かります。

点Dを中心にして△A₃DGを回転し、点A₃を点A₁と合わせたものを△A₃DG'とします。

　∠EDG'
＝∠BDA₁＋∠A₁DG
＝∠A₁BD＋∠A₃DC
＝∠ADB＋∠ACB
＝９０度。

従って、四角形DG'A₁Eは３つの頂角が９０度となるので長方形となります。

よって、A₁G'＝DE＝３ｃｍ、A₁E＝G'D＝２．５ｃｍ。

従って、
　三角錐の表面積
＝△CDB＋△A₁BD＋△A₂CB＋△A₃DC
＝1/2×DB×CE＋1/2×DB×A₁＋1/2×CB×A₂F＋1/2×CD×A₃G
＝1/2×６×４＋1/2×６×２．５＋1/2×５×３＋1/2×５×３
＝３４．５ｃｍ²
となります。

答：３４．５cm²

以上

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