第287問の解答


問題 整数の性質

   41÷37÷31÷29÷23÷19÷17÷13÷11÷7÷5÷3÷2÷1

上の計算式に自由にカッコをつけることができます。例えば、

  41÷(37÷31÷29)÷{23÷(19÷17)}÷13÷11÷7÷5÷3÷2÷1

とすると、カッコを付けない場合計算結果が違ってきますね。
このとき、計算結果が違うもの何通りつくることができるでしょうか。


解答例1
ハラギャーテイさん、M.Hossieさん、有無相生さん、ふじさきたつみさん、中村明海さん、ガンマ先生さん、あまれっとさん、N.Nishiさん、 他多数)

最後の÷1は無関係なので除外し、数字が5個の場合を考えます。。

参考図1

5個の数字のうち、11は必ず分子分母に来ます。
残りの3個の数字は、それぞれ分母に来るときと分子に来るときの2通りあるので、合計23=8通りというわけです。

なお、これらを実現するカッコの付け方の例は、次の通り。
 (中村明海さんのアイディア)

の間にある3個÷について、
 カッコの中含まない ・・・ 直後の数字分母に来る ・・・ 数字0 
 カッコの中含む   ・・・ 直後の数字分子に来る ・・・ 数字1
と対応させる。

従って、本問では37の間に÷11個あるので、112048通りとなります。

 

答:2048通り

以上