第289問の解答
問題 [整数の性質]
次のような形の循環小数を考えます。
0.■▲■▲■▲■▲■▲・・・・(ただし、■と▲は異なる1ケタの整数)
このような循環小数のうち、分数に直して出来る限り約分したときにできる分子の数字は、
全部で何通りあるでしょうか。
解答例1(小杉原啓さん、トトロ@Nさん、ちーくんさん、まるケンさん、あんみつさん、高橋道広さん、FALCONさん、他 多数)
このような循環小数は、N=n/99(1≦n≦98)の形をしています。
なぜなら、
N= 0.■▲■▲■▲■▲・・・ (1)
100×N=■▲.■▲■▲■▲■▲・・・ (2)
よって、(2)−(1)より、
99×N=■▲
N=■▲/99まず、■と▲は異なるので、nは11の倍数ではありません。
また、nが3の倍数のとき、n=3×pとすると、(pは11の倍数でない)
n/99=3×p/99=p/33
となり、nが分子の数字にはなり得ませんので除く必要があります。 ・・・ (3)従って、n/99の形をしたものは、3の倍数でも11の倍数でもない整数で、
3の倍数=99÷3=33個
11の倍数=99÷11=9個
33の倍数=99÷33=3個
より、99−(33+9−3)=60個あります。
(3)で、もしpが3の倍数(nは9の倍数=9×m)とすると、
N=9×m/99=m/11
の形になります。
このとき、1≦m≦8で、mが3の倍数のとき(m=3、6、9)には、(3)で除いた分子の数字を実現することになるので、この3個を加える必要があります。
従って、合計60+3=63通りあることになります。答:63通り
以上