第290問の解答


問題 [ 空間図形]

問題図

四面体ABCDABの中点をCDの中点 をとするとき、AB=12cm、MN=4cm、ACBCADBDとなっています。

この四面体を直線MNを軸に90度回転して、元の四面体と重なる部分の体積108cm3であったそうです。

では、四面体ABCDの体積何cm3でしょうか。


解答例1ヒデー王子さん、C-Dさん、あんみつさん、masashiさん、ちーくんさん、sodoさん、角田(^^)v鉄也さん、まおさん、ミミズクはくず耳さん、ふじさきたつみさん、小西孝一さん、長野美光さん、ちば けいすけさん、他 多数)

参考図1

対象性より、上から見るとBCAD菱形になり、△ABN(二等辺三角形)と辺CDは直交していることが分かります。

従って、これを90度回転して重ねた立体は、上から見ると正方形PQRSとします)を底辺とする2つ四角錐M−PQRSN−PQRSを合わせたものになります。

参考図2

この立体の体積は、1/3×正方形PQRSの面積×MN108cm3となることから、
正方形PQRSの面積=108×3/4=81cm2

従って、正方形PQRS1辺の長さは、9cmと分かります。

参考図3 参考図4

平面PQRSで切断したものの1/4をみると、
BO=AB×1/2=6cmHOHO'=PS×1/2=9/2cm
よって、BH=BO−HO=3/2cm

△BHS△BOD相似だから、BO:OD=BH:HS=1:3
よって、OD=BO×3=18cm

元の四角形ABCDは、2つの合同な三角錐C−ABN、D−ABNを合わせたものだから、体積=1/3×△ABN×ND×2=1/3×24cm2×18cm×2=288cm3となります。

答:288cm3

以上

(参考)動く3D図


(その他の解法)

・四角錐台(上面の正方形の対角線が12cm、下面の対角線が36cm、高さが4cm)からの切断で考える
 ・・・ トトロ@Nさん