第291問の解答
問題 [ 空間図形]
球を10個の平面で切断したとき、表面は最大何個の破片に分かれるでしょうか。
解答例1(ミミズクはくず耳さん、takuさん、CRYING DOLPHINさん、角田(^^)v鉄也さん、中学への算数さん、高橋道広さん、ちば けいすけさん、トトロ@Nさん、中村明海さん、Parpunteさん、 他 多数)
n個の平面で切断したときの破片数をFnとし、nに関する漸化式で考えます。
n=1のとき、F1=2。 ・・・ (1)
n≧2のとき、n個めの平面で切断すると、それまでの(n-1)個の平面と2回ずつ交わるので、(n-1)×2個の破片が増える。
従って、Fn=Fn-1+2(n-1) ・・・ (2)
(1)、(2)より、順次計算して求めると、F10=92となります。
なお、一般式は、
Fn=F1+Σk=2..n(Fk−Fk-1)
=2+2Σk=2..n(k-1)
=(n-1)n+2
となります。本問の場合、F10=9×10+2=92。
答:92個
以上
解答例2(あんみつさん、AЯOTさん、前田先生@P進学院さん、まおさん、岩間美顕さん、小西孝一さん、ふじさきたつみさん、 他 多数)
最初に水平な面(黒色)で切断した2つの面で考えます。
これ以降、平面で切断したときの破片数(Gnとします)は等しいので、
Fn=Gn-1×2
となります。
G1=2、Gn=Gn-1+nより、G9=46、
よって、F10=G9×2=92個となります。なお、一般式は、
Gn=G1+Σk=2..n(Gk−Gk-1)
=2+Σk=2..nk
=1+Σk=1..nk
=n(n+1)×1/2+1
となります。これより、
Fn=Gn-1×2=(n−1)n+2
を得ます。