第291問の解答


問題 [ 空間図形]

10個平面切断したとき、表面最大何個破片に分かれるでしょうか。


解答例1ミミズクはくず耳さん、takuさん、CRYING DOLPHINさん、角田(^^)v鉄也さん、中学への算数さん、高橋道広さん、ちば けいすけさん、トトロ@Nさん、中村明海さん、Parpunteさん、 他 多数)

n個平面で切断したときの破片数Fnとし、nに関する漸化式で考えます。

参考図1

n=1のとき、F1=2。 ・・・ (1)

n≧2のとき、n個めの平面で切断すると、それまでの(n-1)個平面2回ずつ交わるので、(n-1)×2個破片が増える。

従って、FnFn-12(n-1) ・・・ (2)

参考図2

(1)、(2)より、順次計算して求めると、F1092となります。

 

なお、一般式は、
 FnF1Σk=2..n(FkFk-1
=2+2Σk=2..n(k-1
(n-1)n+2
となります。本問の場合、F109×10+2=92。
 

答:92個

以上


解答例2あんみつさん、AЯOTさん、前田先生@P進学院さん、まおさん、岩間美顕さん、小西孝一さん、ふじさきたつみさん、 他 多数)


最初に水平な面(黒色)で切断した2つの面で考えます。

参考図3

これ以降、平面で切断したときの破片数(Gnとします)は等しいので、
 FnGn-1×2
となります。

参考図4

G1GnGn-1nより、G946
よって、F10=G9×2=92個となります。

なお、一般式は、
 GnG1Σk=2..n(GkGk-1
=2+Σk=2..nk
=1+Σk=1..nk
n(n+1)×1/2+1
となります。

これより、
 FnGn-1×2=(n−1)n+2
を得ます。