第２９４問の解答
問題 ［ 平面図形］
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上の図は、ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣを表しています。 |
解答例１（ふじさきたつみさん、モルモット大臣さん、他）
点ＤからＢＣに平行な線を引いてＡＢとの交点をＥとし、
ＢＣ上にＣＦ＝ＡＤとなるＦをとりＤと結びます。また、∠DBC＝θとおきます。
EDとBCは平行だから、△AEDは△ABCと相似な二等辺三角形。
よって、∠AED＝∠ADE＝∠ABC＝∠ACB＝２θ、
また、AE＝AD、EB＝DC。EDとBCは平行だから、∠EDB＝∠DBF＝∠EBD＝θ、
よって、△EBDは二等辺三角形となり、EB＝ED。また、△AEDと△FCDについて、
AE＝AD＝FC、ED＝EB=CD、∠AED＝∠FCD＝２θ
と二辺挟角が等しいので合同。
従って、△FCDも二等辺三角形となり、
DF＝FC、∠FDC＝∠FCD＝２θさて、題意よりBD＋AD＝BC＝BF＋FC、AD＝FCだから、BD＝BF。
よって、△BFDは二等辺三角形となり、∠BDF＝∠BFD＝∠FDC＋∠FCD＝４θ。従って、△BFDの内角の和＝∠DBF＋∠BDF＋∠BFD＝９θ＝１８０度。
よって、θ＝１８０度／９＝２０度。 ・・・ （１）∠BAC＝１８０度−∠BAC−∠CAB＝１８０度−４θ＝１００度。・・・ （２）
答：（１）２０度 （２）１００度
以上
解答例２（計算鑑定人さん、角田(^^)v鉄也さん、岩間美顕さん、数楽者さん、ねこやんさん、ぽんつくさん、他）
BC上にBP＝ABとなる点P、CQ＝ADとなる点Q、およびＤＥ＝ＤＣとなる点Ｅをとります。 ∠ＤＢＥ＝∠ＡＢＤ＝θとします。
ＤＥ＝ＤＣより、△ＤＥＣは二等辺三角形、
よって、∠ＤＥＣ＝∠DCE＝２θ。∠BDE＝∠DEC−∠DBE＝２θ−θ＝θ。
∠ADB＝∠DBC＋∠DCB＝θ＋２θ＝３θ。△ABDと△PBDは合同より、AD＝PD、∠ADB＝∠PDB＝３θ、
よって、∠EDP＝∠PDB−BDE＝３θ−θ＝２θ。
従って、△PDEは、PE＝PD＝ADの二等辺三角形。
△DEPと△DCQについて、
DE＝DC、EP＝AD＝CQ、∠DEP＝∠DCQより、二辺挟角が等しいので合同。よって、△DCQもQD＝QCの二等辺三角形。
従って、∠QDC＝∠QCD＝２θ。
よって、∠DQB＝∠QDC＋∠QCD＝４θ。題意より、BD＋AD＝BQ＋QC＝BC、AD＝QC、
よってBD＝BQとなり、△BDQは、BD＝BQの二等辺三角形。
従って、∠BDQ＝∠BQD＝４θ。∠ADB＋∠BDQ＋∠QDC＝１８０度、
３θ＋４θ＋２θ＝１８０度、
よって、θ＝１８０度／９＝２０度。∠BAC＝１００度は解答例１と同様。
解答例３（MrXさん、他）
BDを延長し、DE＝ADとなる点をEとし、
Dを通りBCと平行に引いた直線とECの交点をF、ABとの交点をGとします。
また、∠ABD＝∠DBC＝θとします。
△AGDは△ABCと相似な二等辺三角形、
よって、∠AGD＝∠ADG＝２θ。GDとBCは平行より、∠GDB＝∠DBC＝∠GBD＝θ、
よって、△GBDはGB＝GDの二等辺三角形。BE＝BD＋BE＝BD＋AD＝BC、
よって、△BCEはBE＝BCの二等辺三角形、
従って、∠BEC＝∠BCE。DFとBCが平行より、∠DFE＝∠BCE＝∠DEF、
よって、△DEFはDE＝DFの二等辺三角形。また、GDとBCは平行より、GB＝DC。
さて、△ADGと△FDCについて、
AD＝FD、DG＝DC、∠ADG＝∠FDC＝２θより二辺挟角が等しいので合同。
よって、△FDCもFD＝FCの二等辺三角形。従って、∠FCD＝∠FDC＝２θ。
△BCEは二等辺三角形であったから、∠BEC＝∠BCE＝４θ。よって、△BCEの内角の和＝９θ＝１８０度。
従って、θ＝２０度。
以下同様。
（その他の解法）
・作図して求める ・・・
ミミズクはくず耳さん 、M.Hossieさん 、中村明海さん・数値計算で三角方程式を解く ・・・ ハラギャーテイさん 、小西孝一さん
・座標を用いて方程式を解く ・・・ ハラギャーテイさん 、拓パパさん