第294問の解答


問題 [ 平面図形]

問題図

上の図は、AB=AC二等辺三角形ABCを表しています。

いま、∠B二等分線をひき、辺ACとの交点をとします。
すると、BD+AD=BCとなりました。

このとき、
(1) ∠DBC大きさ(図中のの大きさ)を求めてください。

(2) ∠BAC大きさ(図中のの大きさ)を求めてください。


解答例1ふじさきたつみさん、モルモット大臣さん、他)

からBCに平行な線を引いてABとの交点をとし、
BC上にCF=ADとなるをとりと結びます。また、∠DBC=θとおきます。

参考図1

EDBCは平行だから、△AED△ABC相似二等辺三角形
よって、∠AED∠ADE∠ABC∠ACB=2θ、 
また、AE=ADEBDC。 

EDBCは平行だから、∠EDB∠DBF∠EBDθ
よって、△EBD二等辺三角形となり、EBED。 

また、△AED△FCDについて、
 AEADFCEDEB=CD∠AED∠FCD=2θ
二辺挟角が等しいので合同
従って、△FCD二等辺三角形となり、
 DFFC∠FDC∠FCD=2θ 

さて、題意よりBDADBCBFFCADFCだから、BDBF
よって、△BFD二等辺三角形となり、∠BDF∠BFD∠FDC∠FCD=4θ

従って、△BFD内角の和∠DBF∠BDF∠BFD=9θ=180度。
よって、θ=180度/9=20度。 ・・・ (1)

∠BAC=180度−∠BAC∠CAB=180度−4θ100度。・・・ (2)

答:(1)20度 (2)100度

以上


解答例2計算鑑定人さん、角田(^^)v鉄也さん、岩間美顕さん、数楽者さん、ねこやんさん、ぽんつくさん、他)

BC上にBP=ABとなる点PCQ=ADとなる点Q、およびDE=DCとなる点Eをとります。 ∠DBE∠ABDθとします。

参考図2

DEDCより、△DEC二等辺三角形
よって、∠DEC∠DCE=2θ

∠BDE∠DEC∠DBE=2θθθ
∠ADB∠DBC∠DCBθ+2θ=3θ

△ABD△PBDは合同より、AD=PD∠ADB=∠PDB=3θ
よって、∠EDP=∠PDB−BDE=3θ−θ=2θ
従って、△PDEは、PE=PD=AD二等辺三角形

△DEP△DCQについて、
DE=DC、EP=AD=CQ、∠DEP=∠DCQより、二辺挟角が等しいので合同

よって、△DCQQD=QC二等辺三角形
従って、∠QDC=∠QCD=2θ
よって、∠DQB=∠QDC+∠QCD=4θ

題意より、BD+AD=BQ+QC=BC、AD=QC
よってBD=BQとなり、△BDQは、BD=BQ二等辺三角形
従って、∠BDQ=∠BQD=4θ

∠ADB+∠BDQ+∠QDC=180度
3θ+4θ+2θ=180度
よって、θ=180度/9=20度

∠BAC=100度は解答例1と同様。


解答例3MrXさん、他)

BDを延長し、DE=ADとなる点をEとし、
D
を通りBCと平行に引いた直線とECの交点をFABとの交点をGとします。
また、∠ABD=∠DBC=θとします。

参考図3

△AGD△ABCと相似な二等辺三角形
よって、∠AGD=∠ADG=2θ

GDBCは平行より、∠GDB=∠DBC=∠GBD=θ
よって、△GBDGB=GD二等辺三角形

BE=BD+BE=BD+AD=BC
よって、△BCEBE=BC二等辺三角形
従って、∠BEC=∠BCE

DFBCが平行より、∠DFE=∠BCE=∠DEF
よって、△DEFDE=DF二等辺三角形

また、GDBCは平行より、GB=DC

さて、△ADG△FDCについて、
AD=FD、DG=DC、∠ADG=∠FDC=2θり二辺挟角が等しいので合同。
よって、△FDCFDFC二等辺三角形

従って、∠FCD=∠FDC=2θ
△BCE二等辺三角形であったから、∠BEC=∠BCE=4θ

よって、△BCE内角の和9θ=180度
従って、θ=20度
以下同様。


(その他の解法)

作図して求める ・・・
  ミミズクはくず耳さん 、M.Hossieさん 、中村明海さん

数値計算で三角方程式を解く ・・・ ハラギャーテイさん 、小西孝一さん

座標を用いて方程式を解く ・・・ ハラギャーテイさん 、拓パパさん