第295問の解答


問題 [規則性]

問題図

上の図のように、円周上に1、3、5の数字が書かれています。

この図は、1分後には右側の図のように、数字数字の間に新たな数字が書き足されます。このとき、新たな数字は、その両側の数字の合計になっています。上の図(右側)だと、の間にの間にの間にが書かれていますね。

このようにして1分ごと数字を書き足していくとき、
(1) 4分後、円周上にある数字の合計はいくつになるでしょうか。

(2) 7分後、円周上にある数字の中で最大のものはいくつでしょうか。

 


解答例1Mikiさん、トトロ@Nさん、Masashiさん、あんみつさん、ねこやんさん、拓パパさん、小西孝一さん、前田先生@P進学院さん、M.Hossieさん、あまれっとさん、tekiさん、有無相生さん、大岡敏幸さん、永井暁さん、他多数)

n分後数字の合計Fn最大の数字Gnとし、漸化式で考えます。

(1)数字の合計

参考図1

(n-1)分後と、n分後の数字を比べてみます。
n分後には、
 ・(n-1)分後の数字がそのまま残ったもの
 ・(n-1)分後の数字を左、右の両隣に加えたもの
の合計だから、
 FnFn-1Fn-1×2=Fn-1×3

従って、Fnは、初項F0=9で、公比等比数列となります。
よって、Fn=9×3n=3n+24分後F4=36729となります。

(2)数字の最大値

n=2のときを考えます。

参考図2

2分後に新しく書き込まれる数字(上図、ピンクの球)は、
最初にあった数字黄色の球)と1分後に書き込まれた数字(青い球)のとなっています。

黄色の球の最大値G0=5と青色の球の最大値G1=8は隣り合っているので、ピンク色の球の最大値G2G0G1=5+8=13となります。

そして、G2G1が今度も隣り合うことになるので、3分後も同様にして、
 G3G1G2=8+13=21

以下、同様にして、 GnGn-1Gn-2
が成り立つので、Gnフィボナッチ数列となります。
順次計算して求めると、G7144となります。

参考図3
 

答:(1)729 (2)144

以上


(その他の解法)

EXCELなどを用いて地道に計算して求める・・・
  圭太さん 、角田(^^)v鉄也さん 、ちーくんさん 、takuさん 、カズノリさん 、masaki_satouさん 、他