第298問の解答


問題 [平面図形]

問題図

左図のような、一辺の長さが7cm正方形ABCDがあります。

点Pを辺AD上にAP=2cmとなる位置に、点Qを辺CD上に∠APB∠QPBとなるようにします。
また、点Qを通りBPに平行な直線と辺BCとの交点をとします。

このとき、DQの長さは何cmでしょうか。
 


解答例1

RQADの延長線の交点をTとします。
また、∠TPQの二等分線とQTの交点をとし、からDTに下ろした垂線の足をとします。

参考図1

PBTRは平行だから、∠PTG=∠APB=∠BPQ=∠PQG
よって、△PQTPT=PQ二等辺三角形

従って、QT中点となり、PGQTは直交します。
また、DT中点となります。

△TGP、△THG、△GHP△PABと相似。

よって、HTの長さをとすると、
 HG=HT×7/2=14PH=HG×7/2=49
DG=HT=だから、PD=PH−DH=49−4=45

また、DQ=HG×2=28

従って、DQPD×28/45=5×28/45=28/9cm

(類似解)

maruhagedonさん

PBTQ平行四辺形とし、TからBCに下ろした垂線の足をGとします。

参考図2

△BGT△PDQは合同より、BG=5cm、GTDQ
あとは解答例1と同様にしてGT28/9cmを得ます。

 

さん

PTRQ平行四辺形とし、TからBCに下ろした垂線の足をHとします。

参考図3

△THR△QDPは合同より、HRPD=5cm、THDQ
以下同様。

答:28/9cm

以上


解答例2トトロ@Nさん、Banyanyanさん、ちーくんさん、他)

PBを軸にして△PABを折り返したものを△PA'Bとします。
A'からABADBCに下ろした垂線の足をそれぞれHH'H2とし、
AA'PBの交点をTとします。

参考図4


ピタゴラスの定理より、PB2AP2AB2=22+72=53、
よって、PB=√53。

△PTA△PTA'は合同で、△PABに相似、
よって、ATA'T=2×7/√53=14/√53。

△A'H'A△PABに相似、
よって、
 AH'AA'×7/√53=2×14/√53×7/√53=196/53、
 A'H'AA'×2/√53=2×14/√53×2/√53=56/53。

PH'AH'AP=196/53−2=(196−106)/53=90/53。

△PH'A'△PDQは相似だから、
DQPD×AH'PH'=5×56/90=28/9cm

 

(別解)

AH'とおきます。
△PA'H'△A'BH2は相似だから、
  BH2A'B×A'H'PA'=7×/2=7/2
  PH'PA'×A'H2A'B=2×(7−)/7=2−2/7.。

AH'BH2だから、
 2+(2−2/7.)=7/2
 (2/7+7/2)x=4
よって、=56/53。
PH'=2−2/7.=90/53。

以下同様。


解答例3ふじさきたつみさん、 他)

PBを軸にして△PABを折り返したものを△PA'Bとし、DQ=xとおきます。
 

参考図5

A'BABBC=7cmなので、直角三角形QBA'QBCは合同。
(A'Q2=BQ2−A'B2=BQ2−BC2=QC2

従って、
 正方形ABCD△PAB×2+△QBC×2+△PDQ
 49=14+7×(7−)+5/2
 9/2=14
よって、x=28/9cmとなります。

(類似解)

sodoさん、うのたかはるさん 、有無相生さん

PからBCに下ろした垂線の足をHとし、PHBQの交点をTとします。

参考図6

正方形ABCD△PAB△PBQ△QBC△PDQ
 
49=1/2×2×7+1/2×5×√(522)×7+1/2×(7−)×7+1/2×5×
変形して、92−28=0。

これより、x=28/9を得ます。


解答例4ねこやんさん、 他)

PQBCの延長が交わる点をTとし、TからPBに下ろした垂線の足をHとします。

参考図7

ピタゴラスの定理より、PB=√53。

△TPH△TBHは、ともに△BPAと相似、かつTHは共通だから合同。
よって、BTHB×√53/2=(√53/2)2=53/4。

従って、CTT−BC=53/4−7=25/4。

△DPQ△CTQは相似で、相似比はDP:CT=5:25/4=4:5。
よって、DQCD×4/9=7×4/9=28/9cm


 

(類似解)

ちば けいすけさん、あんみつさん

P、HからBCに下ろした垂線の足を2、H3とします。

参考図8

△PBH2で中点連結定理より、
 BH33H2=1cmで、HH3=7/2cm。

△THH3△BPAは相似だから、
 3HH3×7/2=49/4cm。

よって、BTBH33=1+49/4=53/4cm。
以下同様。


解答例5まるケンさん、 他)

を中心に△APBを時計方向に90度回転したものを△P'CBとします。

参考図9 参考図9−1

△PBQと△P'BQは、PB=P'B、BQは共通で∠BPQ=∠BP'Q。
よって、右の図のようにP'は三点PBCを通る円周上、および点Bを中心とし半径がPBに等しい円周上にあることになる。

このような点はPを含め2カ所あるが、もう一方の∠BP'Qは∠BPQとは等しくないので、結局P以外にはないことになる。

よって、△PBQと△P'BQは合同。

従って、面積について、
 正方形ABCD△PBQ△P'BQ△PQD

三角形だとわかりにくいので、△PBQ△P'BQはくっつけて変形し、QP'(=QC+2cm)を底辺、高さの長方 形に、また、△PQDも、底辺がDQ、高さが半分の2.5cmの長方形にします。

参考図9−2

すると、
 長方形234
=長方形B'P'DT−(長方形B'P'QP2+長方形3QDP4
=7×9−49=14cm2

よって、QD=14÷(7−2.5)=28/9cm2


解答例6CRYING DOLPHINさん、うっしーさん他)

DQとおきます。

参考図10

QCCDDQ=7−

△QRC△BPAと相似だから、
 RCQC×2/7=2−2/7
よって、BRBCRC=5+2/7

四辺形QPBRは、等脚台形になるからPQBR

△PDQピタゴラスの定理により、
 PD2DQ2PQ2
 522=(5+2/72
 25+2=25+20/7+4/492
 492=140+42
 (45−140)=0
>0だから、=140/45=28/9cm


解答例8Taroさん、Miki Sugimotoさん、ハラギャーテイさん、M.Hossieさん、ばち丸さん、 他)

α=∠APB=∠BPQθ=∠DPQとおきます。

参考図12

直角三角形BPAより、tanα=7/2。
θ
=180度−2αより、
tanθ=−tan2α=−2tanα/(1−tan2α)=−2・7/2/(1−72/22)=28/45。

DQPD・tanθ=5・28/45=28/9