第300問の解答


問題 [ 空間図形]

問題図

左図のような各面が平行四辺形からなる平行六面体ABCD-EFGHがあります。

今、底面上点P△EFHの内部にとり、DP上の点Qをとったとき、次の関係が成り立ちました。

  • 四角錐Q-ABCDの体積=72cm3

  • 四角錐Q-AEHDの体積+四角錐Q-CDHGの体積=60cm3

  • 三角錐Q-DFGの体積=30cm3

  • 平行四辺形EFGHの面積=72cm2

では、△PFH面積何cm2でしょうか。


解答例1(マサルさん 、ねこやんさん、おかひで博士さん、Banyanyanさん、ミミズクはくず耳さん、水田Xさん、他

参考図1
動く3D図

図1、図2より、
 四角錐D-EFGH=四角錐Q-ABCD
四角錐Q-EFGH=平行六面体×1/3 ・・・ (1)
 四角錐D-EFGH=三角錐Q-DEF三角錐Q-DFG三角錐Q-DGH三角錐Q-DHE
             
四角錐D-EFGH ・・・ (2)
が成り立ちます。

(1)より、
 四角錐D-EFGH=72+四角錐Q-EFGH

また、
 三角錐Q-DGH
三角錐Q-DHE
=四角錐Q-AEHD
×1/2+四角錐Q-CDHGの体積×1/2
=60×1/2=30cm3
および、三角錐Q-DFG=30cm3だから、
(2)より、
 72+四角錐Q-EFGH=30+30+三角錐Q-DEF四角錐Q-EFGH

よって、
 三角錐Q-DEF=72−6012cm3

さて、平面EFGHから見た点Dの高さをh1点Qの高さをh2とします。

すると、
 三角錐Q-DEF=三角錐D-PEF−三角錐Q-PEF=△PEF×(h1-h2)×
1/3
 三角錐Q-DFG=三角錐D-PFG−三角錐Q-PF G=△PFG×(h1-h2)×1/3
 三角錐Q-DGH三角錐Q-DHE
=(三角錐D-PGH−三角錐Q-PGH)+(三角錐D-P HE−三角錐Q-PHE)
=(△PGH+△PHE)×(h1-h2)×
1/3

また、
 三角錐Q-DEF三角錐Q-DF G三角錐Q-DGH三角錐Q-DHE
=四角錐D-EFGH−四角錐Q-EFGH
=平行四辺形EFGH×(h1-h2)×
1/3
四角錐Q-ABCD
72
cm3

従って、
 三角錐Q-DGH
三角錐Q-DHE=72−(12+30)=30cm3

よって、
 △PEF△PFG:(△PGH△PHE
三角錐Q-DEF:三角錐Q-DFG:三角錐Q-DGH三角錐Q-DHE
12:30:30

従って、
 △PEF=12cm2△PFG=30cm2、(△PGH△PHE30cm2

参考図2

△PEF△PGH△PFG△PHE平行四辺形EFGH×1/2=72×1/2=36cm2

よって、
 △PGH36−12=24cm2

従って、
 △PFH=△PFG
△PGH−△FGH
=30+24−36
18cm2

答:18cm2

以上


(その他の解法)

  • 座標、ベクトルで解く・・・Taroさん、Toru Fukatsuさん、M.Hossieさん、他