第３０１問の解答

問題　［推理］

ある学校の生徒に次のようなアンケート調査をしました。

　質問：「あなたの好きなスポーツを２つ書いてください。」

その結果、８０枚のアンケート用紙が集まり、どのアンケート用紙にも２種類のスポーツが書いてあったそうです。

また、この８０枚のアンケート用紙から適当に２枚を選び、そこに書かれたスポーツを見ると、どのように２枚を選んでも、必ず２枚に共通するスポーツが少なくとも１つあったそうです。

では、生徒に最も好まれたスポーツは、少なくとも何枚のアンケート用紙に書かれていたと考えられるでしょうか。

解答例１

ミミズクはくず耳さん 、Taroさん、ねこやんさん、中村明海さん、M.Hossieさん、有無相生さん、水田Xさん、小西孝一さん、nobさん、ふじさきたつみさん、ばち丸さん、Parpunteさん、あまれっとさん、トトロ＠Ｎさん、長野美光さん、巷の夢さん、N.Nishiさん、他

アンケートに記入されたスポーツの種類数によって場合分けします。

  • スポーツが２種類のとき

全ての生徒がこの２種類のスポーツを書いたことになり、どちらも８０枚に記入されています。

  • スポーツが３種類のとき

３種類のスポーツを記入数の多い順に、A、B、Cとし、記入数をそれぞれ、a、b、c枚とします。

題意より、
　a＋b＋c＝80×２＝１６０
　a≧b≧c
が成り立つので、
　a×３≧１６０
　a≧１６０／３＝５３．３３・・・

従って、a≧５４。　

実際、下表のような組み合わせが存在するので、最も好まれたスポーツの記入数は、少なくとも５４枚以上。

参考図１

  • スポーツが４種類以上のとき。

最も好まれたスポーツをＡとします。
このとき、実は全員がＡを記入したことになりますが、これを背理法で証明します。

今、Ａを記入した人（n人：ただし、n<80)ばかりを集めてグループＡということにします。
グループＡ以外の人が少なくとも一人(生徒mと呼びます)存在するので、この人が記入したスポーツをB、Cとします。

参考図２

題意より、グループAのそれぞれと生徒ｍは、同じスポーツを一つは記入していますが、それはＡではないのでＢまたはＣを記入していることになります。

もし、グループＡの全員がＡ、Ｂと記入したと仮定すると、スポーツＢを記入した人が(n+1)以上いることになり矛盾します。グループＡの全員がＡ、Ｃと記入したと仮定しても同様。

従って、グループＡには、Ａ、Ｂと記入した人、Ａ、Ｃと記入した人の両方が存在します。

さて、仮定から記入されたスポーツは４種類以上なので、Ａ、Ｂ、Ｃ以外のスポーツ（Ｄとします）を記入した人（生徒kと呼びます）が存在します。

参考図３

生徒ｋは生徒mと共通なスポーツを一つは記入しているので、Dの他にBまたはCを記入しています。

生徒kがB、Dとすると、グループAでＡ、Ｃを記入した生徒２と共通なスポーツがないので矛盾。
生徒kがC、Dとすると、グループAでＡ、Bを記入した生徒１と共通なスポーツがないので矛盾。

従って、いずれの場合も矛盾が生じるので、グループAに属さない人がいるという仮定が誤っていたことになります。

よって、全員がスポーツAを記入したことになるので、最も好まれたスポーツAの記入数は８０枚となります。

　

以上から、最も好まれたスポーツの記入数の最小値は５４枚と分かります。

答：５４枚

以上