第301問の解答


問題 [推理]

ある学校の生徒に次のようなアンケート調査をしました。

 質問:「あなたの好きなスポーツ2つ書いてください。」

その結果、80枚アンケート用紙が集まり、どのアンケート用紙にも2種類のスポーツが書いてあったそうです。

また、この80枚アンケート用紙から適当に2枚を選び、そこに書かれたスポーツを見ると、どのように2枚を選んでも、必ず2枚に共通するスポーツが少なくとも1つあったそうです。

では、生徒に最も好まれたスポーツは、少なくとも何枚のアンケート用紙に書かれていたと考えられるでしょうか。

解答例1

ミミズクはくず耳さん 、Taroさん、ねこやんさん、中村明海さん、M.Hossieさん、有無相生さん、水田Xさん、小西孝一さん、nobさん、ふじさきたつみさん、ばち丸さん、Parpunteさん、あまれっとさん、トトロ@Nさん、長野美光さん、巷の夢さん、N.Nishiさん、他

アンケートに記入されたスポーツ種類数によって場合分けします。

  • スポーツ2種類のとき

全ての生徒がこの2種類スポーツを書いたことになり、どちらも80枚に記入されています。

  • スポーツ3種類のとき

3種類スポーツ記入数の多い順に、A、B、Cとし、記入数をそれぞれ、a、b、c枚とします。

題意より、
 abc=80×2=160
 abc
が成り立つので、
 a×3≧160
 a≧160/3=53.33・・・

従って、a54。 

実際、下表のような組み合わせが存在するので、最も好まれたスポーツの記入数は、少なくとも54枚以上。

参考図1

  • スポーツ4種類以上のとき。

最も好まれたスポーツとします。
このとき、実は全員を記入したことになりますが、これを背理法で証明します。

今、Aを記入した人n人:ただし、n<80)ばかりを集めてグループAということにします。
グループA以外の人が少なくとも一人(生徒mと呼びます)存在するので、この人が記入したスポーツをB、Cとします。

参考図2

題意より、グループAのそれぞれと生徒mは、同じスポーツを一つは記入していますが、それはではないのでまたはを記入していることになります。

もし、グループAの全員がA、Bと記入したと仮定すると、スポーツBを記入した人が(n+1)以上いることになり矛盾します。グループAの全員がA、Cと記入したと仮定しても同様。

従って、グループAには、A、Bと記入した人、A、Cと記入した人の両方が存在します。

さて、仮定から記入されたスポーツ4種類以上なので、A、B、C以外のスポーツ(とします)を記入した人(生徒kと呼びます)が存在します。

参考図3

生徒k生徒mと共通なスポーツを一つは記入しているので、Dの他にBまたはCを記入しています。

生徒kB、Dとすると、グループAA、Cを記入した生徒2と共通なスポーツがないので矛盾。
生徒kC、Dとすると、グループAA、Bを記入した生徒1と共通なスポーツがないので矛盾。

従って、いずれの場合も矛盾が生じるので、グループAに属さない人がいるという仮定が誤っていたことになります。

よって、全員がスポーツAを記入したことになるので、最も好まれたスポーツAの記入数は80枚となります。

 

以上から、最も好まれたスポーツの記入数の最小値54枚と分かります。

答:54枚

以上