第３０２問の解答

問題　［ 平面図形］

問題図 左図のような正三角形ＡＢＣがあります。

いま、その内部に∠ＢＰＣ＝１２０度となるような点Ｐをとったところ、△ＡＰＢの面積が１８cm2、△ＡＰＣの面積が８cm2となりました。

では、この正三角形ＡＢＣの面積は何cm2でしょうか。

解答例１

sugitakukunさん 、chiocciolaさん、マサルさん、ヒデー王子さん、CRYING DOLPHINさん、拓パパさん、M.Hossieさん、水田Ｘさん、 他

Bを中心に△PBCを反時計回りに６０度回転したものを△P1BA、
Cを中心に△PBCを時計回りに６０度回転したものを△P2ACとします。

参考図

題意より、
　∠PBC＋∠PCB＝１８０−∠BPC＝１８０−１２０＝６０度。

従って、
　∠ABP＝∠P1AB＝∠PCB、
　∠ACP＝∠P2AC＝∠PBC。

すると、P1AとBPは平行なので△APBと△AP1Bは高さが等しくなり、面積比は底辺の比に等しい。
よって、△APB：△AP1B＝１８：△PBC＝PB：P1A＝PB：PC　・・・　（１）

同様に、△P2AC：△APC＝△PBC：８＝AP2：PC＝PB：PC　・・・　（２）

（１）、（２）より、
　１８：△PBC＝△PBC：８
　△PBC2＝１８×８＝１４４

よって、△PBC＝１２cm2となり、
正三角形ABC＝１８＋８＋１２＝３８cm2となります。
　

答：３８cm2

以上

解答例２

ちば けいすけさん、 他

Ｐを通ってＢＣに平行な直線を引き、ＡＢ、ＢＣとの交点をそれぞれＤ、Ｅとする。
また、ＢＣ上に、Ｂに近い方から２点Ｆ、Ｇをとり、△ＰＦＧが正三角形になるようにする。

参考図２

すると、二つの平行四辺形ＢＤＰＦとＣＦＰＧとができる。

△ＡＰＢ＝△ＡＦＢ、△ＡＰＣ＝△ＡＧＣ。
よって、ＢＦ：ＣＧ＝△APB：△APC＝１８：８＝９：４。

一方、∠ＤＢＰ＝∠ＧＣＰ、∠ＢＤＰ＝∠ＣＧＰより、△ＤＰＢ∽△ＧＰＣ。
ＢＦ：ＣＧ＝９：４より、ＤＰ：ＧＰ＝９：４。

したがって、△ＤＰＢ：△ＧＰＣ＝９：４。
相似で面積比が９：４だから、ＤＰ：ＧＰ＝３：２。

従って、ＢＦ：ＦＧ：ＧＣ＝９：６：４。
よって、△ＡＢＣ＝１８＋８＋１８×６／９＝３８ｃｍ2。

解答例３

トトロ＠Ｎさん、 他

PB上に点DをBD＝PCとなるようにとり、ADとCPの延長線の交点をEとします。

参考図３

△DBCと△PCAは二辺挟角が等しいので合同。
△ABDと△PBCは二辺挟角が等しいので合同。

従って、∠BAD＝∠PBC、∠DAC＝６０−∠BAD＝６０−∠PBC＝∠PCB。

すると、△PBCと△ECAは、１辺と両端の角が等しいので合同。

以上から、AE＝BD＝PC、AD＝EC＝PB、
よって、ED＝AD-AE＝PB−PC＝PD、EP＝EC−PC＝PB−PC＝PD。

ここで、PD/BD＝ｘとおくと、
△DBC＝△ABE＝△APC＝８cm2。　
△PDC＝△DEB＝△EPA＝８x cm2。
△EDP＝△EPA・x＝８x2 cm2。

従って、△APC＝８＋２・８ｘ＋８x2＝１８
　４x2＋８ｘ−５＝０
　（２ｘ−１）（２ｘ＋５）＝０
よって、ｘ＝１/２となります。

従って、
△ABC＝８・３＋８・１/２・３＋８×１/２・１/２＝２４＋１２＋２＝３８cm2。

（その他の解法）

  • Pから各辺に垂線を下ろして相似形を利用　・・・ 　maruhagedonさん、ねこやんさん、他
    　

  • 三角関数で解く　・・・ 　有無相生さん、モルモット大臣さん、他
    　

  • ベクトルで解く　・・・　ハラギャーテイさん、 他