第305問の解答


問題 [平面図形]

問題図  左図のような、AB12cmBC25cm∠B90度直角三角形ABCがあります。

この三角形辺BC上に点Pをとって、「APの長さ×5+PCの長さ×3」が最も小さくなるようにします。

では、このときの「APの長さ×5+PCの長さ×3」を求めて下さい。


解答例1[算数]

マサルさん、ラララさん、Banyanyanさん、中村明海さん、ステップばいステップさん、 ミミズクはくず耳さん 永井暁さん、おかひで博士さん、sugitakukunさん、あんみつさん、ねこやんさん、Nの悲劇さん、萬田銀次郎さん、あまれっとさん、まっつぁんさん、他

APPC×3/5とおき、最小値を下図で求めます。
L頂点Cを通り傾き3/4の直線です。

参考図1

PBC上にあるとき、Pから直線Lに下ろした垂線の足Hとすると、
PHPC×3/5ですから、APPHとなります。

従って、最小になるのは、A、P、H一直線上に並ぶときです。

実際、頂点Aから直線Lに下ろした垂線の足H0とし、
AH0辺BC交点P0とすると、
PHH1H0APAH1よりAPPHAH1H1H0AH0となります。

このとき、△P0AB△P0CH0相似より、
 AP0AB×5/4=12×5/4=15cm
 BP0AB×3/4=12×3/4= 9cm
 P0CBCBP016cm

よって、求める最小値は、
 5AP0+3P0C=5×15+3×16=75+48=123cm となります。

答:123cm

以上


解答例2[微分]

哲也さんmhayashiさん武田浩紀さん 、Taroさん 、sodoさん 、辻。さん 、Nagahiroさん 、ばち丸さん 、CRYING DOLPHINさん 、小西孝一さん 、Parpunteさん 、M.Hossieさん 、

BP=5AP+3PCとします。
AP=√(2+122)、PC=(25−)より、
=5√(2+122)+3(25−) となります。

yの増減を調べるために、yを微分して、
y'=5/√(2+122)−3
 =(5−3√(2+122))/√(2+122

y'=0となるのは、
 5=3√(2+122
 252=92+9×9×16
 162=92×16
よって、のときです。

従って、の増減表は下表の通り。

参考図2

なお、=5√(2+122)+3(25−) のグラフは下図のようになります。

参考図3


よって、求める最小値は、123cmとなります。


(その他の解法)

  • 座標で解く ・・・ 有無相生さん
    双曲線t*t-u*u=12*12(0<u<25)への接線の傾きが5/3になる接点の座標を求める問題に帰着 
     
  • EXCEL等で計算 ・・・ ふじさきたつみさんちば けいすけさん