第306問の解答


問題 [平面図形 、整数の性質]

問題図  左図のような正三角形の形をしたビリヤード台があります。
このビリヤード台の各頂点にはポケットと呼ばれる穴があって、そこにやってきたボールは穴に落ちてしまいます。

いま、ポケットの位置からボールを打ち出しました。
ボール
各辺にぶつかるとはね返り、どこかのポケットに入るまでこれを続けます。

では、37回はね返ってポケットに入るような打ち出し方(打ち出し方向)何通りあるでしょうか。


解答例1[算数]

Taroさん、長野美光さん、ICさん、CRYING DOLPHINさん、Banyanyanさん、 MITUYAMIさん Nの悲劇さん、小西孝一さん、中村明海さん、ちば けいすけさん、kokoさん、有無相生さん、M.Hossieさん、BossFさん、

ボールが跳ね返ってどう進むかは、正三角形ビリヤード台折り返して考えることができます。

参考図1

上図で、3段目にある4つ頂点のうち、両端を除いたB、C2カ所最初の頂点Aを結べば、
ボール3回跳ね返ってポケットに入ることになります。

一般に、段目のポケットに入るときには、図の水平な辺に(n-1)回、斜めの辺に(n-2)回交わるので、
合計(2n-3)回跳ね返ります。

従って、ボール37回跳ね返ってポケットに入るのは、
 2n-3=37
よって、n20段になるときです。

下図は、20段までビリヤード台を折り返したところを表したところです。

参考図2


20段目には、両端を除くと19個頂点がありますが、これらに向かってボールを打ちだしたとき、
途中でポケットに入ってしまうケースを除く必要があります。

このため、一般的にn段目の左からk番目の頂点をn、kと表すことにします。
0、0からn、kへ打ち出したときに、途中でポケットm、j)に入るとしたら、
 n=pm、k=pjとなるpが存在するとき、すなわち公約数を持つときになります。

従って、20段目20、kポケットにちょうど入るには、20互いに素である必要があります。

から19までの整数20互いに素となるのは、
 1、3、7、9、11、13、17、19
8通りです。

答: 8通り

以上