第309問の解答


問題 [空間図形]

問題図  左図のような直方体ABCD−EFGHがあります。この直方体は、四角形ABCDEFGH面積72cm2正方形で、AE=BF=CG=DH=9cmとなっています。

いま、図のように各面の中心(対角線の交点)をむすんで八面体を作りました。

この直方体を図の3つの点点D点Fおよび辺AE中点)を通る平面切断します。このとき、図の八面体切断面面積何cm2でしょうか。


解答例1

まるケンさん、ミミズクはくず耳さん、トトロ@Nさん 、小杉原 啓さん、あんみつさん、うっしーさん、ねこやんさん、小西孝一さん、中村明海さん、ちば けいすけさん、有無相生さん、ひめぞうさん、あさみかずみさん、他 多数

八面体の各頂点およびAEの中点に下記のような名前を付けます。
また、切断面HEの交点をE'HGとの交点をG'CGとの交点をMとします。

参考図1

△DE'H△ME'Eは相似でDH:ME'2:1より、E'H:E'E2:1
よって、E'E=EHとなります。

すると、△E'HG'△E'EFが相似でE'H:E'E2:1より、HG':HG2:1
よって、GG'GHとなります。

従って、△G'DH△G'NGの相似より、NCGの中点となります。

以上より、各図形は平面DHFBに関して左右対称となっていることが分かります。

参考図2

そこで、上図のように図形を各方向から眺めてみると、
八面体切断面台形2つ合わせたような六角形となることが分かります。

この六角形頂点で、台形底面となる両端にあたるM'、N'とすると、
M'、N'
は平面IJKL上にあり、対称性からM'IJの中点、N'KLの中点となります。

従って、M'N'長さ正方形IJKL1辺の長さと等しくなります。
正方形IJKLの面積正方形ABCDの面積×1/2=72×1/2=36
よって、M'N'6cmと求まります。

次に、直角三角形△DHFについて、DH9cmHFIJ×2=12cmより、
辺の長さ3:4:5直角三角形となることが分かります。
従って、DF15cmとなります。

横から見た図で三角形の相似より、
 六角形の高さDF×1/3=15cm×1/3=5cm

また、上から見た図で三角形の相似より、
台形の上の辺の長さLI×2/3=6cm×2/3=4cm

よって、
 切断面である六角形の面積=1/2×(6+4)×(5×1/2)×2=25cm2となります。
 

答: 25cm2

以上

(参考)動く3D図


(その他の解法)