第309問の解答
問題 [空間図形]
左図のような直方体ABCD−EFGHがあります。この直方体は、四角形ABCD、EFGHが面積72cm2の正方形で、AE=BF=CG=DH=9cmとなっています。 いま、図のように各面の中心(対角線の交点)をむすんで八面体を作りました。
この直方体を図の3つの点( 点D、点Fおよび辺AEの中点)を通る平面で切断します。このとき、図の八面体の切断面の面積は何cm2でしょうか。
解答例1
まるケンさん、ミミズクはくず耳さん、トトロ@Nさん 、小杉原 啓さん、あんみつさん、うっしーさん、ねこやんさん、小西孝一さん、中村明海さん、ちば けいすけさん、有無相生さん、ひめぞうさん、あさみかずみさん、他 多数
八面体の各頂点およびAEの中点に下記のような名前を付けます。
また、切断面とHEの交点をE'、HGとの交点をG'、CGとの交点をMとします。
△DE'Hと△ME'Eは相似でDH:ME'=2:1より、E'H:E'E=2:1、
よって、E'E=EHとなります。すると、△E'HG'と△E'EFが相似でE'H:E'E=2:1より、HG':HG=2:1、
よって、GG'=GHとなります。従って、△G'DHと△G'NGの相似より、NがCGの中点となります。
以上より、各図形は平面DHFBに関して左右対称となっていることが分かります。
そこで、上図のように図形を各方向から眺めてみると、
八面体の切断面は台形を2つ合わせたような六角形となることが分かります。この六角形の頂点で、台形の底面となる辺の両端にあたる点をM'、N'とすると、
M'、N'は平面IJKL上にあり、対称性からM'はIJの中点、N'はKLの中点となります。従って、M'N'の長さは正方形IJKLの1辺の長さと等しくなります。
正方形IJKLの面積=正方形ABCDの面積×1/2=72×1/2=36。
よって、M'N'=6cmと求まります。次に、直角三角形△DHFについて、DH=9cm、HF=IJ×2=12cmより、
辺の長さが3:4:5の直角三角形となることが分かります。
従って、DF=15cmとなります。横から見た図で三角形の相似より、
六角形の高さ=DF×1/3=15cm×1/3=5cm。また、上から見た図で三角形の相似より、
台形の上の辺の長さ=LI×2/3=6cm×2/3=4cm。よって、
切断面である六角形の面積=1/2×(6+4)×(5×1/2)×2=25cm2となります。
答: 25cm2
以上
(参考)動く3D図
(その他の解法)
- 座標系をもちいて計算 ・・・ M.Hossieさん、他