第312問の解答
問題 [確からしさ]
マサルさんとトモエさんが「コイン投げゲーム」をしています。 そのルールは、
「2人がそれぞれ6枚のコインを投げ、表の出た枚数が多いほうが勝ち(注)」、
というものでした。ところが、どうしても勝ちたいマサルさんは、インチキをして7枚のコインを投げたそうです。
このとき、マサルさんが勝つ確からしさ(確率)を求めて下さい。(注)表の枚数が同じ場合は、「引き分け」でゲームは終了です。
解答例1
長野 美光さん、Taroさん、トトロ@Nさん、ミミズクはくず耳さん、あんみつさん、うっしーさん、真島 嘉弘TZさん、ICさん、CRYING DOLPHINさん、モルモット大臣さん、うききさん、まるケンさん、ハラギャーテイさん、有無相生さん、u-tyanさん、Miki Sugimotoさん、 ねこやんさん、永井 暁さん、他
マサルさんが投げた7枚のコインのうちn枚表となる場合は7Cn、
トモエさんが投げた6枚のコインのうちm枚表となる場合は6Cmとなります。
従って、マサルさんが勝つ場合の数は、m<nとなる場合の6Cm×7Cnの和となります。
これは、上図の青色の部分に相当します。ところが、2項定理の対称性(pCq=pCp-q)より、青色部分と残りの部分(うす緑、濃い緑の部分)は、ちょうど同じ数が対称的に並んでいるので、場合の数は等しくなります。
よって、マサルさんが勝つ確率は1/2となります。
答: 1/2
以上
解答例2
chiocciolaさん、拓パパさん、中村明海さん、まるケンさん、M.Hossieさん、ふじさきたつみさん、清川 育男さん、nob-kishさん、岡野PRTさん、大岡 敏幸さん、他
まず、マサルさんの7枚目を除く6枚同士でトモエさんと勝負を考えてみます。
同じ枚数ですから、勝ちと負けの場合の数は等しくなります。
ズルをした場合のマサルさんの勝ちとなるケースは、
6枚同士で既に勝ちとなるケース ・・・ (1)
6枚同士では引き分けで、残る一枚が表となるケース ・・・ (2)
の2通りあります。このうち、
(1)は、6枚同士でトモエさんの勝ちのケースと同数、
(2)は、6枚同士では引き分けで、残る一枚が裏となるケースと同数
なので、最終的には、
マサルさんの勝ちのケースの数=引き分けか負けるケースの数
となり、勝つ確率は1/2となります。
(その他の解法)
- プログラムで計算する ・・・ ちば けいすけさん、ωさん、 他