第316問の解答
問題 [ 平面図形]
左図のような正方形ABCDがあります。 いま、辺AB上にAP:PB=2:1となる点Pをとり、さらに辺ADの延長線上(Dの右側)にPB=QDとなるような点Qをとります。また、PQ上に中点Mをとります。
正方形ABCDの面積が18cm2であるとき、図のDMの長さを求めて下さい。
解答例1
トトロ@Nさん、あんみつさん、もくさくさん、まるケンさん、ねこやんさん、 ふじさきたつみさん、さねかづらさん、他
下図のように格子を描きます。
すると、Mは正方形ABCDの対角線DBを1:2に内分する点であることが分かります。
(厳密には、解答例2のように証明する必要がありますが。)ABCDの面積=18cm2より、BD2=ABCDの面積×2=36、
よって、BD=6cm。従って、DM=BD×1/3=2cm となります。
答: 2cm
以上
解答例2
Taroさん、小杉原 啓さん、おりくんさん、小西孝一さん、ミミズクはくず耳さん、フランク長いさん、kokoさん、大岡 敏幸さん、ななしのぞうさん、あほあほまんさん、他 多数
点Mより、AB、AD、DCに下ろした垂線の足を、H、I、Jとします。
また、PBの長さを1とおきます。
△QAPについて中点連結定理により、
AI=IQ=2、AH=HP=1。従って、ID=AD−AI=1、IM=AH=1。
従って、四角形IMJDは1辺の長さがPBと等しい正方形となります。
従って、正方形IMJD=正方形ABCD×1/9=18×1/9=2cm2。
よって、DM2=正方形IMJD×2=4cm2、
DM=2cm と分かります。
解答例3
うっしーさん、M.Hossieさん、 他
点AとM、および点DとPを結びます。
また、PBの長さをaとおきます。
題意より、AP=PB×2=2a、AD=AB=PB×3=3a、DQ=PB=a。
また、正方形ABCDの面積=18cm2より、(3a)2=18、
よって、a2=2。直角三角形APQについて、ピタゴラスの定理より、
PQ2=AP2+AQ2=(2a)2+(4a)2=20a2、
よって、PM2=MQ2=PQ2×1/4=5a2。直角三角形APDについて、ピタゴラスの定理より、
DP2=AP2+AD2=(2a)2+(3a)2=13a2。さて、△APQについてパップスの中線定理より、
(DP2+DQ2)×1/2=DM2+PM2
(13a2+a2)×1/2=DM2+5a2
よって、
DM2=2a2=4 となり、DM=2cmと分かります。
(その他の解法)
- 座標で解く ・・・ 有無相生さん、 他