第316問の解答


問題 [ 平面図形]

問題図 左図のような正方形ABCDがあります。

いま、辺AB上にAP:PB2:1となる点をとり、さらに辺ADの延長線上(Dの右側)にPBQDとなるような点をとります。また、PQ上に中点Mをとります。

正方形ABCD面積18cm2であるとき、図のDM長さを求めて下さい。


解答例1

トトロ@Nさん、あんみつさん、もくさくさん、まるケンさん、ねこやんさん、 ふじさきたつみさん、さねかづらさん、他

下図のように格子を描きます。

参考図1

すると、Mは正方形ABCDの対角線DB1:2に内分する点であることが分かります。
(厳密には、解答例2のように証明する必要がありますが。)

ABCDの面積=18cm2より、BD2ABCDの面積×2=36
よって、BD6cm

従って、DMBD×1/3=2cm となります。

答: 2cm

以上


解答例2

Taroさん、小杉原 啓さん、おりくんさん、小西孝一さん、ミミズクはくず耳さん、フランク長いさん、kokoさん、大岡 敏幸さん、ななしのぞうさん、あほあほまんさん、他 多数

より、ABADDCに下ろした垂線の足を、とします。
また、PBの長さをとおきます。

参考図2

△QAPについて中点連結定理により、
 AIIQAHHP

従って、IDADAI=1、IMAH

従って、四角形IMJD1辺の長さPBと等しい正方形となります。

従って、正方形IMJD正方形ABCD×1/9=18×1/9=2cm2

よって、DM2正方形IMJD×2=4cm2
 DM2cm と分かります。


解答例3

うっしーさん、M.Hossieさん、 他

AM、および点DPを結びます。
また、PBの長さをaとおきます。

参考図3

題意より、APPB×2=2aADABPB×3=3DQPB

また、正方形ABCDの面積18cm2より、(3218
よって、22。

直角三角形APQについて、ピタゴラスの定理より、
 PQ2AP2AQ2=(22+(42=202
よって、PM2MQ2PQ2×1/4=52

直角三角形APDについて、ピタゴラスの定理より、
 DP2AP2AD2=(22+(32=132

さて、△APQについてパップスの中線定理より、
 (DP2DQ2)×1/2=DM2PM2
 (1322)×1/2=DM2+52
よって、
 DM22a2=4 となり、DM2cmと分かります。


(その他の解法)