第317問の解答


問題 [ 平面図形]

問題図 左図のような△ABCがあります。

いま、辺BC上に点ABAPとなるように、
また、辺AC上に点∠APQ∠BCAとなるようにとりました。

このとき、BQの長さを求めて下さい。


解答例1

トトロ@Nさん、拓パパさん、 他

参考図1

△ACP△APQについて、∠ACP∠APQ∠CAP∠PAQ(共通)より相似。
よって、AQAP×AP/AC=4×4/6=8/3

△ABQ△ACBについて、∠BAQ∠CAB(共通)、AB:AQ=4:8/3=6:4=AC:ABより相似。

従って、BQAB×BC/AC=4×8/6=16/3cm となります。

答: 16/3cm

以上


解答例2

永井 暁さん、Miki Sugimotoさん、有無相生さん、あさみかずみさん、うーちゃんさん、あほあほまんさん、大岡 敏幸さん、 他

参考図2

△ACP△APQが相似、AQ8/3、までは解答例1と同じ。
従って、CQACAQ=6−8/3=10/3

∠CQP△APQの外角だから、∠CQP∠PAC∠APQ∠PAC∠BCA
∠APB△ACPの外角だから、∠APB∠PAC∠BCA
よって、∠CQP∠APB∠ABC

△CQP△ABCについて、∠CQP∠ABC∠QCP∠BAC(共通)より相似。
よって、CPCQ×AC/BC=10/3×6/8=5/2

△ACP△BCQについて、∠ACP∠BCQ(共通)、AC:CP=6:5/2=8:10/3=BC:CQより相似。

よって、BQBC×AP/AC=8×4/616/3cm と分かります。


解答例3

sugitakukunさん、ステップ ばい ステップさん、 他

参考図3

∠ABP∠APB∠ACP∠PAC∠APQ∠PAC∠PQC
よって、∠ABP∠AQP∠PQC∠AQP180度

従って、四角形ABPQは、ある内接することが分かります。

従って、∠PAC∠QBC

△ACP△BCQについて、∠ACP∠BCQ(共通)、∠PAC=∠QBCより相似。

以下、解答例2と同様。


(その他の解法)