第324問の解答


問題 [ 平面図形]

問題図 左図のような、AB5cmBC10cm△ABCがあります。

いま、∠ADBの大きさが、∠B半分の大きさになるように辺BC上に点Dをとったところ、AD8cmとなったそうです。

このとき、△ABC面積何cm2でしょうか。


解答例1

Taroさん、ねこやんさん、有無相生さん、フランク長いさん、ななしのごんたさん、萬田銀次郎さん、小西孝一さん、うっしーさん、KOさん、他

∠B二等分線AD交点Eとし、EAからBCに下ろした垂線の足FHとします。

参考図1

∠EBD∠EDBより、△EBD二等辺三角形、よって、EB=ED

△AEB△ABDは、∠Aが共通、∠ABE∠ADBより相似

よって、AEABABAD
 AEAB×AB/AD25/8cm、
従って、EB=EDAD-AE=8−25/8=39/8cm。

また、ABEBADBD
 BDAD×EB/AB=8×(39/8)/5=39/5cm。

よって、EDFD=39/8:39/10=5:4
従って、△EFD辺の長さ3:4:5直角三角形

△AHD△EFD相似より、AHAD×3/5=24/5cm

よって、
 △ABC
 
=1/2×BC×AH
 
=1/2×10×24/5
 =24cm2

答: 24cm2

以上


解答例2

CRYING DOLPHINさん、トトロ@Nさん、ミミズクはくず耳さん、小杉原啓さん、ふじさきたつみさん、omegaさん、他

辺BC上に点Pを、APAB5cmとなるようにとります。

参考図2

△ABP二等辺三角形だから、∠APB∠ABP

∠PAD∠APB∠ADP∠ADP
従って、△PAD二等辺三角形となります。

よって、PDAP5cm

AD中点Mとすると、AMDM4cm
よって、△PAM△PDM辺の長さ3:4:5直角三角形となります。

従って、△APD=1/2×AD×PM=1/2×8×3=12cm2

△ABC△APDは、底辺の長さが10:5=2:1で、高さ共通
よって、△ABC=△APD×2=12×2=24cm2


解答例3

ヒデー王子さん、啓@Nさん、高橋道広さん、他

辺CBを延長して、点PPBAB5cmとなるようにとります。

参考図3

△BAP二等辺三角形となるから、∠BPA∠BAP∠ABD×1/2=∠ADB
よって、△APD二等辺三角形

従って、APAD8cm

AP中点とすると、AMPM4cm
よって、△APM△BPMは、辺の長さ3:4:5直角三角形
従って、BM3cm

△APB=1/2×AP×BM=1/2×8×3=12cm2

△ABC△APBは、底辺の長さが10:5=2:1で、高さ共通
よって、 △ABC△APB×2=12×2=24cm2

 


解答例4

Miki Sugimotoさん、ハラギャーティさん、M.Hossieさん、うっしーさん、きょえぴさん、あんみつさん、大岡敏幸さん、他

θ=∠ADBとおきます。

参考図4

△ABDについて正弦定理より、
 AB/sinθ=AD/sin2θ
 5/sinθ=8/2sinθcosθ、
よって、cosθ=4/5、sinθ=3/5

sin2θ=2sinθcosθ=2×4/5×3/5=24/25

従って、
 △ABC
=1/2×AB×BC×sin2θ
=1/2×5×10×24/25=24cm2