第326問の解答
問題 [整数の性質]
各位の数が1か2だけで出来た8ケタの整数があり、この整数は256の倍数であるそうです。 では、このような8ケタの整数を求めてください。
解答例1
CRYING DOLPHINさん、辻。さん、ぶなしめじTZさん、中村明海さん、M.Hossieさん、小西孝一さん、をめがさん、大岡 敏幸さん、 他
求める整数をBBCDEFGHとします。
BBCDEFGH=BBCDEFG×10+H より、
10が2の倍数だからHも2の倍数、よってH=2。BBCDEFGH=BBCDEF×100+G2 より、
100が4の倍数だからG2も4の倍数、よってG=1。BBCDEFGH=BBCDE×1000+F12 より、
1000が8の倍数だからF12も8の倍数、よってF=1。BBCDEFGH=BBCD×10000+E112 より、
10000が16の倍数だからE112も16の倍数、よってE=2。BBCDEFGH=BBC×100000+D2112 より、
100000が32の倍数だからD2112も32の倍数、よってD=2。BBCDEFGH=BB×1000000+C22112 より、
1000000が64の倍数だからC22112も64の倍数、よってC=1。BBCDEFGH=B×10000000+B122112 より、
10000000が128の倍数だからB122112も128の倍数、よってB=2。BBCDEFGH=B2122112 より、B2122112が256の倍数となるのは、B=1。
よって、求める整数は12122112となります。
答: 12122112
以上
解答例2
ステップ ばい ステップさん、ミミズクはくず耳さん、中村明海さん、tekiさん、 他
解答例1をさらに規則性を見つけてみましょう。求める整数をX=B8B7B6B5B4B3B2B1とします。
B1=2は、解答例1とおなじ。
B1〜Bkまでが求まったとして、Bk+1を考えます。
X=B8・・Bk+1×10k+Bk・・B1
10kが2kの倍数だからBk・・B1も2kの倍数、
よって、X=Y×2k+Z×2k(ただし、Y=B8・・Bk+1×5k、Z=Bk・・B1/2k)ここで、Xは2k+1の倍数でもあることから、Y+Zは2の倍数でなければならない。
したがって、次のいずれかのケースとなります。
Zが偶数のとき、Yも偶数 ・・・
ここで、Y=B8・・Bk+1×5kだから、Yが偶数となるのは、Bk+1が偶数、
よってBk+1=2。Zが奇数のとき、Yも奇数・・・
ここで、Y=B8・・Bk+1×5kだから、Yが奇数となるのは、Bk+1が奇数、
よってBk+1=1。以上から、以下のように求まっていきます。
B1=2より、B1/2=1と奇数なので、B2=1。
B2B1=12より、B2B1/22=3と奇数なので、B3=1。
B3B2B1=112より、B3B2B1/23=14と偶数なので、B4=2。
B4B3B2B1=2112より、B4B3B2B1/24=132と偶数なので、B5=2。
B5B4B3B2B1=22112より、B5B4B3B2B1/25=691と奇数なので、B6=1。
B6B5B4B3B2B1=122112より、B6B5B4B3B2B1/26=1908と偶数なので、B7=2。
B7B6B5B4B3B2B1=2122112より、B7B6B5B4B3B2B1/27=16579と奇数なので、B8=1。
よって、求める整数は12122112となります。
解答例3
TBroさん、長野 美光さん、BBnyBnyBnさん、y-iさん、敬@Nさん、他
求める整数をX=B8B7B6B5B4B3B2B1とします。
ここで、Bk=Bk+1とおくと、Bk=1、2だから、Bk=0、1。
したがって、
X=B8B7B6B5B4B3B2B1+11111111
=11111111
+B1×1
+B2×10
・・・
+B8×1000000011111111を256で割った余りは、19910=C716 ・・・ (1)
1を256で割った余りは、110=0116 ・・・ (2)
10を256で割った余りは、1010=0A16 ・・・ (3)
100を256で割った余りは、10010=6416 ・・・ (4)
1000を256で割った余りは、23210=E816 ・・・ (5)
10000を256で割った余りは、1610=1016 ・・・ (6)
100000を256で割った余りは、16010=A016 ・・・ (7)
1000000を256で割った余りは、6410=4016 ・・・ (8)
10000000を256で割った余りは、12810=8016 ・・・ (9)Xが256の倍数であることから、(1)から(9)の余りを加えると256の倍数。
従って、16進数の下1桁目に着目します。
(6)〜(9)の下1桁目は全て0だから、(1)〜(5)に注意すればよい。
(1)の7が奇数で、(2)以外に奇数はないのでB1=1。(1)+(2)で8なので、(3)、(4)、(5)から見ると、B2=0、B3=0、B4=1。
よって、(1)〜(5)で、C716 +0116 +E816 =1B016 。
この下2桁目が奇数より、他に奇数は(6)のみ、よってB5=1。
よって、(1)〜(6)で下2桁目だけを計算すると、B16 +116 =C16 。(7)〜(9)の組み合わせで下2桁目が0となるのは、C16 +416 =1016 のみ。
よって、B6=0、B7=1、B8=0。
よって、X=11111111+01011001=12122112となります。
(その他の解法)
- プログラム・電卓等で計算して見つける ・・・ Miki Sugimotoさん、高田修成さん、 mBruhBgedonさん、あんみつさん、BBnyBnyBnさん、NBgBhiroさん、またきちさん、トトロ@Nさん、ちば けいすけさん、有無相生さん、ハラギャーテイさん、mhByBshiさん、boojBmさん、萬田銀次郎さん、???さん、他
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