第３２６問の解答

問題　［整数の性質］

各位の数が１か２だけで出来た８ケタの整数があり、この整数は２５６の倍数であるそうです。

では、このような８ケタの整数を求めてください。

解答例１

CRYING DOLPHINさん、辻。さん、ぶなしめじTZさん、中村明海さん、M.Hossieさん、小西孝一さん、をめがさん、大岡　敏幸さん、 他

求める整数をBBCDEFGHとします。

参考図１

  • BBCDEFGH＝BBCDEFG×１０＋H　より、
    １０が２の倍数だからHも２の倍数、よってH＝２。

  • BBCDEFGH＝BBCDEF×１００＋G２　より、
    １００が４の倍数だからG２も４の倍数、よってG＝１。

  • BBCDEFGH＝BBCDE×１０００＋F１２　より、
    １０００が８の倍数だからF１２も８の倍数、よってF＝１。

  • BBCDEFGH＝BBCD×１００００＋E１１２　より、
    １００００が１６の倍数だからE１１２も１６の倍数、よってE＝２。

  • BBCDEFGH＝BBC×１０００００＋D２１１２　より、
    １０００００が３２の倍数だからD２１１２も３２の倍数、よってD＝２。

  • BBCDEFGH＝BB×１００００００＋C２２１１２　より、
    １００００００が６４の倍数だからC２２１１２も６４の倍数、よってC＝１。

  • BBCDEFGH＝B×１０００００００＋B１２２１１２　より、
    １０００００００が１２８の倍数だからB1２２１１２も１２８の倍数、よってB＝２。

  • BBCDEFGH＝B２１２２１１２　より、B２1２２１１２が２５６の倍数となるのは、B＝１。

よって、求める整数は１２１２２１１２となります。
　

答：　１２１２２１１２

以上

解答例２

ステップ　ばい　ステップさん、ミミズクはくず耳さん、中村明海さん、tekiさん、 他

解答例１をさらに規則性を見つけてみましょう。求める整数をX=B8B7B6B5B4B3B2B1とします。

B1＝２は、解答例１とおなじ。

B1〜Bkまでが求まったとして、Bk+1を考えます。

X＝B8・・Bk+1×１０k＋Bk・・B1

１０kが２kの倍数だからBk・・B1も２kの倍数、
よって、X＝Y×２k＋Z×２k（ただし、Y＝B8・・Bk+1×５k、Z＝Bk・・B1/２k）

ここで、Xは２k+1の倍数でもあることから、Y＋Zは２の倍数でなければならない。

したがって、次のいずれかのケースとなります。

  • Zが偶数のとき、Yも偶数　・・・　
    ここで、Y＝B8・・Bk+1×５kだから、Yが偶数となるのは、Bk+1が偶数、
    よってBk+1＝２。

  • Zが奇数のとき、Yも奇数・・・　
    ここで、Y＝B8・・Bk+1×５kだから、Yが奇数となるのは、Bk+1が奇数、
    よってBk+1＝１。

以上から、以下のように求まっていきます。

  • B1＝２より、B1/２＝１と奇数なので、B2＝１。

  • B2B1＝１２より、B2B1/２2＝３と奇数なので、B3＝１。

  • B3B2B1＝１１２より、B3B2B1/２3＝１４と偶数なので、B4＝２。

  • B4B3B2B1＝２１１２より、B4B3B2B1/２4＝１３２と偶数なので、B5＝２。

  • B5B4B3B2B1＝２２１１２より、B5B4B3B2B1/２5＝６９１と奇数なので、B6＝１。

  • B6B5B4B3B2B1＝１２２１１２より、B6B5B4B3B2B1/２6＝１９０８と偶数なので、B7＝２。

  • B7B6B5B4B3B2B1＝２１２２１１２より、B7B6B5B4B3B2B1/２7＝１６５７９と奇数なので、B8＝１。

よって、求める整数は１２１２２１１２となります。

解答例３

TBroさん、長野　美光さん、BBnyBnyBnさん、y-iさん、敬＠Ｎさん、他

求める整数をX=B8B7B6B5B4B3B2B1とします。

ここで、Bk＝Bk＋１とおくと、Bk＝1、２だから、Bk＝０、１。

したがって、
X＝B8B7B6B5B4B3B2B1＋１１１１１１１１
　＝１１１１１１１１
　　＋B1×１
　　＋B2×１０
　　・・・
　　＋B8×１０００００００

１１１１１１１１を２５６で割った余りは、１９９10＝C716　・・・　（１）
1を２５６で割った余りは、１10＝０１16 　・・・　（２）
1０を２５６で割った余りは、１０10＝０A16 　・・・　（３）
1００を２５６で割った余りは、１００10＝６４16 　・・・　（４）
1０００を２５６で割った余りは、２３２10＝E８16 　・・・　（５）
1００００を２５６で割った余りは、１６10＝１０16 　・・・　（６）
1０００００を２５６で割った余りは、１６０10＝A０16 　・・・　（７）
1００００００を２５６で割った余りは、６４10＝４０16　・・・　（８）
1０００００００を２５６で割った余りは、１２８10＝８０16  　・・・　（９）

Xが２５６の倍数であることから、（１）から（９）の余りを加えると２５６の倍数。

従って、１６進数の下１桁目に着目します。
（６）〜（９）の下１桁目は全て０だから、（１）〜（５）に注意すればよい。
（１）の７が奇数で、（２）以外に奇数はないのでB1＝１。

（１）＋（２）で８なので、（３）、（４）、（５）から見ると、B2＝０、B3＝０、B4＝１。

よって、（１）〜（５）で、C716 ＋０１16 ＋E８16 ＝１B０16 。

この下２桁目が奇数より、他に奇数は（６）のみ、よってB5＝１。
よって、（１）〜（６）で下２桁目だけを計算すると、B16 ＋１16 ＝C16 。

（７）〜（９）の組み合わせで下２桁目が０となるのは、C16 ＋４16 ＝１０16 のみ。
よって、B６＝０、B7＝１、B8＝０。

よって、X＝１１１１１１１１＋０１０１１００１＝１２１２２１１２となります。

（その他の解法）