第327問の解答


問題 [ 平面図形]

問題図  左図のような、AB=8cm、AC=5cmの△ABCがあります。

いま、辺BC上にBD=2cm、CE=1cmとなる点をとったところ、∠BAD∠CAEとなりました。

では、DE長さを求めてください。


解答例1

マサルさん、takaisaさん、ねこやんさん、noetherさん、M.Hossieさん、 他

参考図1

△ABD△AECは、高さが共通で底辺の比はBDEC=2:1、
よって、△ABD△AEC=2:1。

∠BAE∠DACより、△ABE△ADC=AB×AEAD×AC=8×4:5×5=32:25。

従って、BE:DC=32:25。
BE−DC=2−1=1cmで、32−25=より、1cmに相当する。

よって、BDDEEC1418
従って、DE18/7cmと求まります。

: 18/7cm

以上


解答例2

ponta55555さん、ICさん、わらいねこさん、 他

∠BAC二等分線辺BCの交点をFとし、AFを軸に△ACFを折り返したものを△AGFとします。
 

参考図2

角の二等分線の定理より、BF:FCAB:AC=8:5。

そこで、DFFE=yとおくと、2++1=8:5、
よって、5−8=−2 ・・・ (1)

FGADの交点をE'とすると、対称性よりFE'DEE'GEC=1cm。

△GBFと直線ADに関してメネラウスの定理より、
 BD/DFFE'/E'GGA/AB=1
 2//1・5/8=1
よって、4−5=0 ・・・ (2)

(1)、(2)を解いて、10/78/7を得ます。

よって、DE18/7cmとなります。


解答例3

有無相生さん、他

∠BAC二等分線辺BCの交点をFとします。

参考図3

解答例1と同様にして、ADAE=5:4。

AF∠DAE二等分線でもあるから、DFFEADAE=5:4。
そこで、DF=5FE=4とします。

AF∠BAC二等分線だから、BFFCABAC=8:5、
従って、(2+5):(4+1)=8:5。

これをについて解くと、2/7を得ます。

従って、DE=918/7cmとなります。


解答例4

ふじさきたつみさん、他

平行四辺形ABFCをつくり、ADの延長線とBFの交点をG、
AE
の延長線とCFの交点をHとします。また、DEとおきます。

参考図4

△ABGと△ACHは、∠BAG=∠CAH、∠ABG=∠ACHより相似、
よって、BG:CH=ABAC=8:5。

そこで、BG=8CH=5とおきます。

△ABE△HCEは相似、
よって、8:5=2+:1 ・・・ (1)

△ACD△GBDは相似、
よって、5:8+1:2 ・・・ (2)

(1)÷(2)より、
 64/25=2(+2)/(+1)

これを解いて、18/7を得ます。


(その他の解法)