第329問の解答


問題 [空間図形]

問題図 左図のような、底面正方形BCDE側面がすべて二等辺三角形である四角錐A−BCDEと、底面PQRS側面がすべて二等辺三角形である四角錐T−PQRSがあります。

はそれぞれ辺BCCDDEEB中点で、2つの四角錐体積がともに30cm3となっています。

このとき、四角錐A−BCDE四角錐T−PQRS共通部分体積を求めてください。


解答例1

長野 美光さん、CRYING DOLPHINさん、拓パパさん、あんみつさん、まるケンさん、小杉原 啓さん、トトロ@Nさん、きたさんさん、ponta55555さん、フランク長いさん、ステップ ばい ステップさん、ミミズクはくず耳さん、M.Hossieさん、saeさん、高橋 道広さん、小西孝一さん、ますぽんさん、ねこやんさん、 他

下図のように、求める立体四角錐A-BCDE4隅から三角錐を除いた形になります。
これらの頂点F、G、H、Iとします。

参考図1

三角錐高さを求めるため、平面TBDで切断した図で考えます。

参考図2

中点連結定理より、AQTD平行長さ1/2

従って、△THD△QHA相似で、相似比2:1
よって、AHHD1:2

△AGH△ACQ相似で、相似比1:3
従って、GCAC2/3

以上から、取り除く三角錐高さは、四角錐A−BCDEの高さの2/3で、底面の面積1/8より、
体積は2/3×1/8=1/12。

よって、求める立体の体積
 =30×(1−1/12×4)
 =30×2/3
 =20cm3
となります。

: 20cm3

以上


(その他の解法)