第332問の解答


問題[場合の数]

ある5人の生徒について、お互いの交友関係を聞いたところ、この5人の中で2つのグループが出来ていることが分かりました。

5人の生徒は、2つのグループのどちらかには必ず入っているそうです。

このとき、2つのグループメンバー構成組み合わせ何通り考えられるでしょうか。

ただし、両方のグループに入っている生徒がいてもよいものとします。
なお、1人だけのグループあってもかまいませが、5人のグループないものとします。


解答例1

ミミズクはくず耳さん、まるケンさん、N.Nishiさん、前田先生@P進学院さん、有無相生さん、航介さん、ふじさきたつみさん、ももちゃんさん、 他

グループ人数で場合分けすると、
 (1、4)、(2、3)、(2、4)、(3、3)、(3、4)、(4、4)
6通りになります。

参考図1

  • (1、4)のとき:
    5人から1人を選べば残りの4人は自動的に決まるので、515通り
     

  • (2、3)のとき:
    5人から2人を選べば残りの3人は自動的に決まるので、5210通り
     

  • (2、4)のとき:
    両方のグループに入っている生徒1人いるので、これを選ぶのは515通り
    残り4人から1人を選べば後の3人は自動的に決まるので、414通り
     合計:5×4=20通り
     

  • (3、3)のとき:
    両方のグループに入っている生徒1人いるので、これを選ぶのは515通り
    残り4人から2人を選べば後の2人は自動的に決まるので、426通り
    重複を省いて、合計:5×6/2=15通り
     

  • (3、4)のとき:
    両方のグループに入っている生徒2人いるので、これを選ぶのは5210通り
    残り3人から1人を選べば後の2人は自動的に決まるので、313通り
     合計:10×3=30通り
     

  • (4、4)のとき:
    両方のグループに入っている生徒3人いるので、これを選ぶのは5310通り
    残り2人から1人を選べば後の1人は自動的に決まるので、212通り
    重複を省いて、合計:10×2/2=10通り

従って、合計=5+10+20+15+30+10=90通りとなります。

: 90通り

以上


解答例2

マサルさん、中村明海さん、フランク長いさん、M.Hossieさん、ねこやんさん、小西孝一さん、をめがさん、品川コータさん、 他

参考図2

2つグループABとします。

各生徒は、

  • AB両方に入っている

  • Aのみ入っている

  • Bのみ入っている

3通り考えられるので、5人の生徒では35=343通り

この中には、5人とも両グループに入っているケース1通りを除く必要があり、
また実際にはABグループは区別されないので、この重複を除くと、
 (343−1)/2=121通り
となります。

さらに、5人のグループができている場合として、
もう一方のグループ各生徒が、入る入らない2通りづつあるので、
 25=32通り
このうち、両グループとも5人のケースは既に除外しているので、
 32−1=31通り

従って、合計では121−31=90通りとなります。


(その他の解法)