第333問の解答


問題[空間図形]

問題図 左図のような、ACBD6cmABCDADBC三角錐ABCDがあります。

頂点C辺BD中点Nを結ぶと5cmになります。また、点Cを通り辺BD平行な直線をひくと、辺AC30°で交わります。

このとき、三角錐ABCD体積を求めてください。

 


解答例1

トトロ@Nさん、フランク長いさん、takaisaさん、 他

辺AC中点M辺BD中点Nとします。

参考図1

△MDB△NCAは、どちらも底辺6cm、斜辺5cm二等辺三角形
よって、△MDN△MBN△NCM△NAMは、全て3辺が3:4:5の直角三角形となる。

従って、MN4cm、△MDN=1/2×BD×MN=1/2×6×4=12cm2

ここで、頂点Aから、Mを通ってDBに平行な直線に下ろした垂線の足Hとします。

DBMH平行で、ANDB直交、従ってMHMN直交、かつMNAC直交
従って、三垂線の定理より、HAから平面MDBに下ろした垂線の足ともなります。

∠AMH30°より、AHAM×1/2=3/2cm

さて、三角錐ABCD平面MDBで分割すると、AC中点だから、
分割してできる2つ三角錐の体積は等しい。

従って、三角錐ABCD
 =三角錐AMDB
×
 
=1/3×△MDB×AH×
 
=1/3×12×3/2×
 =12cm3
となります。
 

: 12cm3

以上


解答例2

中村明海さん、長野 美光さん、CRYING DOLPHINさん、クララさん、ねこやんさん、うっしーさん、ミミズクはくず耳さん、 他

三角錐ABCD4面は全て合同三角形なので、
もし、これらが鋭角三角形ならば下図のように直方体にすっぽり収めることができます。(注)

参考図2

DAは平面AB'CA'直交するので、∠DA'M90°
よって、△DMA'は3辺が3:4:5直角三角形となります。
従って、DA'4cm

DBA'M平行なので、題意より、ACA'M30°で交差します。

よって、A'からACに下ろした垂線の足Hとすると、
 A'HAM×1/2=3/2cm

従って、長方形AB'CA'=1/2×AC×A'H×2=6×3/2=9cm2
よって、直方体の体積V=4×9=36cm2

さて、三角錐ABCD直方体から4個の三角錐を除いたものなので、
三角錐ABCDV−1/6×V×4=V×1/3=36×1/3=12cm2となります。

(注)
三角形
の3辺の長さとします。
直方体の横、縦、高さをとすると、
 222 ・・・ (1)
 222 ・・・ (2)
 222 ・・・ (3)
が成り立つ必要があります。

{(1)+(2)+(3)}/2より、
 222=(222)/2 ・・・ (4)

(4)−(2)より、2=(222)/2、
(4)−(3)より、2=(22−c2)/2、
(4)−(1)より、2=(−a222)/2 ・・・ (5)

(5)を満たすが存在するには、三角形鋭角三角形であることが必要かつ十分

よって、三角形鋭角三角形ならば、三角錐が収まるような直方体が存在し、
また(5)より、そのような直方体大きさ1通りしかないことが分かります。 


(その他の解法)