第335問の解答


問題[平面図形]

問題図 左図のような、面積が48cm2正三角形ABCがあります。

いま、正三角形内部点Pをとり、から辺AB辺BC辺CAに降ろした垂線の足をそれぞれとします。その結果、PDPEPFとなりました。

このとき、三角形DEF面積を求めてください。
 


解答例1

まるケンさん、Taroさん、中村明海さん、kosukeさん、をめがさん、おりくんさん、 他

正三角形ABCの長さ、高さをaおよびhとします。

参考図1

△ABC△PAB△PBC△PCA ・・・ (1)
1/2×a×h=1/2×a×d+1/2×a×2d+1/2×a×3d
1/2×a×h=1/2×a×(d+2d+3d

従って、h=6dと分かります。

よって、正三角形ABC36個小正三角形に分割すると、
PABBCCAより高さの位置にあることから図2のようになります。

よって、
 AD
DB=3.5:2.5=7:5
 BE
EC2:4
 CF
FA=3.5:2.5=7:5

小正三角形面積とすると、
 △ADF=2.5×3.5=35/4
 △BED=2.5×2=
 △CFE=4×3.5=14

よって、△DEF=36−(35/4+5+14)=33/4

小正三角形面積48/36cm2だから、
 △DEF=33/4×48/36=11cm2
となります。

: 11cm2

以上


解答例2

ステップ ばい ステップさん、ふじさきたつみさん、ミミズクはくず耳さん、ドルミカムさん、小学名探偵さん、 他

正三角形ABCの中心をP'とし、P'から下ろした垂線の足D'E'F'とします。
これらはABBCCA中点となります。

参考図2

△D'E'F'△ABC×1/4=48×1/4=12cm2

△PDE△PEF△PFD、および△P'D'E'△P'E'F'△P'F'D'は、
いずれも挟まれる角度120度と共通だから、面積は挟む2辺の長さ積に比例します。

従って、
 △DEF:△D'E'F'=(1×2+2×3+3×1):(2×2+2×2+2×2)=11:12
よって、
 △DEF=△D'E'F'×11/12=12×11/12=11cm2


解答例3

CRYING DOLPHINさん、ponta55555さん、Banyanyanさん、ねこやんさん、 他

Pを通り各辺平行直線を引きます。

参考図3

すると、PDPEPFを高さとする3つの正三角形ができます。
 各辺の長さの比=PDPEPF1:2:3

よって、
 AD
DB=(0.5):(0.5=7:5
 BE
EC=():(=2:4
 CF
FA=(1.5):(1.5)=7:5

以下、解答例1と同様。


解答例4

フランク長いさん、 他

EPABの交点をG、およびCAとの交点をH
FPABの交点をJ、およびCBとの交点をK
DPBCの交点をM、およびACとの交点をN、とします。

参考図4

△GPD△HPFは、いずれも頂角30度直角三角形

従って、PDの長さをとおくと、
 GPPD×2=2
 HP
PF×2=

また、△GBE△HCEも、頂角30度直角三角形

よって、
 BEECGEHE4:8

同様にして、
 CFFAKFJF7:5
 ADDBNDMD7:5

以下、解答例1と同様。


(その他の解法)