第338問の解答
問題[平面図形]
左図のような、面積が14cm2、∠A=30°、辺BC=4cmの△ABCがあり、∠B、∠Cの大きさは90°未満になっています。 いま、辺AB上に点P、辺BC上に点Q、辺CA上に点Rをとりました。
△PQRの周の長さを最も短くなるようにするとき、その長さを求めてください。
解答例1
CRYING DOLPHINさん、トトロ@Nさん、ステップ ばい ステップさん、拓パパさん、あほあほまんさん、M.Hossieさん、ねこやんさん、ふじさきたつみさん、ミミズクはくず耳さん、大岡 敏幸さん、他多数
△ABCをABを軸に折り返したものを△ABC'、ACを軸に折り返したものを△AB'C、
△PQRの周をdとします。
PQ'=PQ、Q''R=QRより、d=PQ+QR+RP=Q'P+PR+RQ''
従って、Qを固定したとき、△PQRの周が最も短くなるのは、
Q'、P、R、Q''が一直線上に並ぶときです。さて、AQ'=AQ''=AQより、△AQ'Q''は二等辺三角形。
また、∠Q'AB=∠QAB、∠Q''AC=∠QAC、
従って、∠Q'AQ''=∠BAC×2=60°。よって、△AQ'Q''は正三角形となりますので、d=Q'Q''=AQ。
従って、△PQRの周が最も短くなるのは、AQが最小となるときです。
このとき、QはAからBCに下ろした垂線の足となります。△ABC=1/2×AQ×BC
よって、dの最小値は、
AQ=△ABC×2/BC=14×2/4=7cm
となります。答: 7cm
以上
(その他の解法)
- 座標を使って解く ・・・ 有無相生さん、他