第339問の解答


問題[平面図形]

問題図 左図のような、∠BAD45°∠BCD90°四角形ABCDがあります。

いま、頂点A頂点Cを結んだところ、∠ACB45°でした。また、△ABDの面積は8cm2△BCDの面積は2cm2であるそうです。また、ACBDの交点をとします。

このとき、AE長さを求めてください。


解答例1

CRYING DOLPHINさん、Banyanyanさん、maruhagedonさん、ステップ ばい ステップさん、鉄老さん、他

ABを軸に△ABCを折り返したものを△ABC'ACを軸に△ACDを折り返したものを△AC''Dとします。

参考図1

∠C''AC'∠C''AD∠DAC∠CAB∠BAC'
    =(∠DAC∠CAB)×2
    =45°×2
    =90°
および、AC''=AC'=ACより、△AC''C'は、直角二等辺三角形となります。

ところが、∠AC''D∠ACD=45°、∠AC'B∠ACB=45°、
従って、C''DBC'、一直線上に並んでいます。

△AC''C'=(△C''AD△BA'C')+△ABD
     =(△ABD△BCD)+△ABD
     =8+2+8
     =18cm2

従って、△AC''C'直角二等辺三角形だから、
 1辺の長さは、面積が18×2=36cm2正方形1辺に等しい。

よって、ACAC''AC'6cmとなります。

AEEC△ABD△BCD=8:2=4:1。

従って、AEAC×4/5=6×0.8=4.8cmとなります。

: 4.8cm

以上


解答例2

さん、ねこやんさん、萬田銀次郎さん、中村明海さん、ふじさきたつみさん、あんみつさん、トトロ@Nさん、 他

頂点Aから辺BDBCおよびCDに下ろした垂線の足HH'H''とします。

参考図2

∠H'∠C∠H''とも直角だから、∠A直角になります。
従って、四角形AH'CH''長方形になります。

また、∠ACH'∠ACH''=45°より、長方形AH'CH''は、正方形となります。

さて、ABを軸に△ABH'を、ADを軸に△ADH''を折り返します。

すると、∠DBH'∠DAH''∠A∠DBA=45°=∠DBA
従って、辺AH'辺AH''は重なります。

また、AH'AH''(正方形だから)より、頂点H'H''も一致します。

ところが、∠H'∠H''直角だから、この一致する点は辺BD上にあり、
辺AH'辺BD直交することから、この点はHと一致することとなります。

従って、
 正方形の面積=△ABD×2+△BCD=8×2+2=18cm2

よって、対角線の長さAC=6cmとなります。

以下、解答例1と同様にして、AEAC×4/5=6×0.8=4.8cmとなります。


(その他の解法)