第344問の解答
問題[平面図形]
左図のような一辺の長さが7cmの正八角形ABCDEFGHがあります。 いま、辺AB上にAP=3cmとなる点Pを、辺HA上にHQ=3cmとなる点Qをとりました。さらに、点Pおよび点Qと正八角形の各頂点を結びました。
このとき、図中の印のついた角度(ピンク色の部分)の和は何度でしょうか。
解答例1
長野 美光さん、ICさん、小金井のチンジャラさん、あほあほまんさん、ふじさきたつみさん、土居 千珠さん、ステップ ばい ステップさん、2-5 ゆたさん、有無相生さん、他
元の図形(図1)と、中心を軸に左へ45度だけ回転した図2とを比較すると、
同じ色で塗りつぶした三角形どうしは合同であることが分かります。すなわち、
△PBC≡△QAB、△PCD≡△QBC、
△PDE≡△QCD、△PEF≡△QDE、
△PFG≡△QEF、△PGH≡△QFG。 ・・・ (1)よって、
QBを45度回転→PC、QCを45度回転→PD、
QDを45度回転→PE、QEを45度回転→PF、
QFを45度回転→PG、QGを45度回転→PH
となります。従って、
QBとPCの交角=QCとPDの交角
=QDとPEの交角=QEとPFの交角
=QFとPGの交角=QGとPHの交角=45度。よって、これらの和=45度×6=270度となります。
さて、(1)を詳しく言うと、まず△PBCと△QABについて、
PB=QA=4cm、BC=AB=7cm、∠PBC=∠QAB=135°より、
二辺挟角が等しいので合同。
よって、PC=QB。次に、△PCDと△QBCについて、
PC=QB、CD=BC=7cm、∠PCD=∠QBC=135°より、
二辺挟角が等しいので合同。
よって、PC=QB。以下、同様にして(1)が成り立ちます。
答: 270度
以上
解答例2
ミヤーンさん、 他
図1より、△PBC≡△QAB、
従って、∠BCP+∠QBC=∠ABQ+∠QBC=∠ABC=135度。
よって、∠BT1C=180度−(∠BCP+∠QBC)=180度−135度=45度。図2より、四角形PBCD≡QABC、
従って、∠CDP+∠QCD=∠BCQ+∠QCD=∠BCD=135度。
よって、∠CT2D=180度−(∠CDP+∠QCD)=180度−135度=45度。以下、同様にして6つの角度とも45度となり、
これらの和は45度×6=270度となります。
(その他の解法)
- 6つの角を外角と考えて、内角の和を求める ・・・ 小西孝一さん、 他