第346問の解答


問題[平面図形]

問題図 左図で、△ABCAB=4cm、BC=3cm、AC=5cmの直角三角形、△EBDは、EBEDの直角二等辺三角形です。

また、∠DAE∠DAPとなっています。(ACDBの交点)

このとき、△PAB面積を求めてください。
 


解答例1

ミヤーンさん、CRYING DOLPHINさん、ゆんななこさん、永井 暁さん、takaisaさん、M.Hossieさん、小西孝一さん、ミミズクはくず耳さん、ふじさきたつみさん、 他

点PからABに下ろした垂線の足とします。

参考図1

△PAH△CABは相似だから、
 AHPHABCB4:3 ・・・ (1)

また、△PHB△DEBと相似な直角二等辺三角形なので、
 PHHB ・・・ (2)

従って、(1)、(2)より、
 PHAB×3/7=4×3/7=12/7cm

よって、
 △PAB=1/2×AB×PH=1/2×4×12/7=24/7cm2

: 24/7cm2

以上


解答例2

JUNさん、たかし4さん、東洋の計算機さん、あほあほまんさん、 他

解答例1同様、垂線の足とします。

参考図2

△DEB直角二等辺三角形より、∠DBE45°
従って、∠CBD=90−45=45°
よって、∠DBE∠CBD

すなわち、BP∠CBA二等分線となることから、
CPPABCBA3:4

よって、PHBC×4/(4+3)=×4/7=12/7cm

以下同様。


(その他の解法)


(参考)

中村明海さん、小金井のチンジャラさん、CRYING DOLPHINさん、 他

今回の問題は、当初DEの長さを求めるものとする予定だったそうです。
そこで、DEを求めてみることにしましょう。

参考図3

四角形DEBF正方形となるように点Fをとり、
DAを軸として、△DEAを折り返したものを△DE'Aとします。

∠DAE'∠DAE∠DAPより、点E'線分AP上にあることが分かります。

従って、△DE'A△DEAより、
 ∠DE'A
∠DEA90°、およびE'AEADE'DE
となります。

さて、△DE'C△DFCを比べてみると、
 DCは共通、DE'DF、および∠DE'C∠DFC=90°より、
△DE'C△DFCとなることが分かります。

従って、
 DE×2
EBFB
=(EAAB)+(FCCB
=(E'AE'C)+ABCB
ACABCB
=4+3+5
12

よって、DE=12÷2=6cmとなります。