第347問の解答


問題[平面図形]

問題図

左図のような正方形ABCDがあります。

いま、対角線AC上に点Pをとり、PHBC平行になるように点H辺AB上にとったところ、HBBCCH=3:4:5となったそうです。

次に、頂点DAP中点Qを通る直線と、直線CHの交点をとして△DJCを作りました。すると、△DJCの面積は56cm2となりました。

このとき、この正方形の面積を求めてください。
 


解答例1

ねこやんさん、午年のうりぼうさん、徳島算数小僧さん、筑紫丘高校新1年生さん、ふじさきたつみさん、ステップ ばい ステップさん、あほあほまんさん、大岡 敏幸さん、Banyanyanさん、M.Hossieさん、 他

点PおよびQからADに下ろした垂線の足P'Q'とし、
正方形
1辺の長さとします。

参考図1

題意より、
 HBP'D=8×3/4=
 AHAP'ABHB
 AQ'Q'P'Q'Q=AP'×12=

△AID△Q'QD相似より、AIAD×Q'Q/Q'D=8×1/7=8/7

よって、 IHAHAI=2−8/7=6/7

従って、 IH:BC=6/7:8=3:28

△IJH△DJH相似より、JHJCIH:BC=3:28。

よって、 △DHC△DJC×25/28=56×25/28=50cm2

従って、 正方形ABCD△DHC×2=100cm2
 

: 100cm2

以上


解答例2

まるケンさん、 他

CJDAをそれぞれ延長して交わる点をNとします。

参考図2

解答例1と同様にして、AQ'Q'D1:7

△AQQ'△ACD相似より、AQQCAQ'Q'D1:7

従って、 △AQD△CQD△AJQ△CJQ=1:7、
よって、 △AJD△CJD=1:7となり、
 △AJD
△CJD×1/7=8cm2

また、NDCD=4:3で、ADCDより、NAAD1:3
従って、△NJA△AJD×1/3=8/3cm2

以上から、
 △NCD△NJA△AJD△CJD=8/3+8+56=200/3cm2
 △ACD△NCD×3/4=200/3×3/4=50cm2

よって、正方形ABCD△ACD×2=100cm2
 


解答例3

高田修成さん、 他

解答例2同様、NCJDA交点とします。

参考図3

解答例2と同様にして、AQQC=1:7、NAAD=1:3。

△NJD直線ACに関してメネラウスの定理より、
 NJ/JC×CQ/QA×AD/DN=1、
 NJ/JC×7/1×3/4=1。

よって、 NJJC4:21

△NHA△NCDは相似より、NHHCNAAD=1:3。

よって、NC25とすると、
 HCNC×3/4=75/4JH=21−75/4=9/4
従って、JHHC=9/4:75/4=3:25

以下、同様。


(その他の解法)