第３５８問の解答

問題［ 整数の性質］

８４の約数をすべて掛けてできる数をＡとします。

では、Ａの約数の個数は何個でしょうか。

解答例１

トトロ＠Ｎさん、長野　美光さん、Taroさん、DrKさん、辻。さん、kasamaさん、Nakariさん、ポケモンハルカさん、小西孝一さん、ハラギャーテイさん、高橋　道広さん、大岡　敏幸さん、クララさん、ふじさきたつみさん、 他

参考図１

８４を素因数分解すると、８４＝２2×３×７となります。

８４の約数として、
　２のべき剰：２0、２1、２2　・・・　３通り
　３のべき剰：３0、３1　　　 ・・・　２通り
　７のべき剰：７0、７1　　 　・・・　２通り
合計＝（２＋１）×（１＋１）×（１＋１）＝１２通りあります。

約数１２個を掛け合わせると、
　２のべき剰：２0×２1×２2＝２3　・・・　３のべき剰の２通り×７のべき剰の２通り＝計４通り
　３のべき剰：３0×３1＝３1　　　　・・・　２のべき剰の３通り×７のべき剰の２通り＝計６通り
　７のべき剰：７0×７1＝７1　　　　・・・　２のべき剰の３通り×３のべき剰の２通り＝計６通り

従って、
　A＝（２3）4×（３1）6×（７1）6=２12×３6×７6
となりますので、
Aの約数の個数は、さきほど同様にして、
　（１２＋１）×（６＋１）×（６＋１）＝６３７個
と求めることができます。

答：　６３７個

以上